\begin{cases} x - y + z = a,\\\\ 2x - y + 3z = 2,\\\ x + y + b z = 0, \end{cases}
com incógnitas x,y,z e parâmetros a,b. Queremos infinitas soluções, isto é, o posto da matriz dos coeficientes deve ser menor que 3 e igual ao posto da matriz ampliada.
Passo 2
Escrevemos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\\\ 2 & -1 & 3\\\\ 1 & 1 & b \end{pmatrix}
Como já vimos \mathrm{posto}(A)=2, precisamos que a terceira linha seja combinação linear das duas primeiras. Procuramos \lambda,\mu tais que
\lambda\,(1,-1,1)+\mu\,(2,-1,3)=(1,1,3).
Das equações \lambda+2\mu=1 e -\lambda-\mu=1 segue \mu=2, \lambda=-3, que satisfaz também \lambda+3\mu=3. Na coluna dos termos independentes, essa combinação dá
-3\cdot a + 2\cdot 2 = 0 \;\Longrightarrow\; a = \tfrac{4}{3}.