58 Determinar para que valores de a e b o sistema
\left\{\begin{array}{l} x-y+z=a \\\\ 2 x-y+3 z=2 \\\ x+y+b z=0 \end{array}\right.
admite infinitas soluções.

Passo 1

Temos o sistema linear
\begin{cases} x - y + z = a,\\\\ 2x - y + 3z = 2,\\\ x + y + b z = 0, \end{cases}
com incógnitas x,y,z e parâmetros a,b. Queremos infinitas soluções, isto é, o posto da matriz dos coeficientes deve ser menor que 3 e igual ao posto da matriz ampliada.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\\\ 2 & -1 & 3\\\\ 1 & 1 & b \end{pmatrix}
e calculamos seu determinante por expansão:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}-1&3\\\ 1&b\end{pmatrix} -(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}2&3\\\ 1&b\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}2&-1\\\ 1&1\end{pmatrix}.
Fazendo as contas,
\det(A)=(-1\cdot b-3\cdot1)+(2b-3)+(2\cdot1-(-1)\cdot1)=b-3.
Logo \det(A)=0 se, e somente se, b=3.

Passo 3

Para b=3 a matriz A deixa de ser invertível e assume posto 2, pois por exemplo o menor 2\times2
\det\begin{pmatrix}1&-1\\\ 2&-1\end{pmatrix}=1\cdot(-1)-(-1)\cdot2=1\neq0.
Assim o posto de A é 2. Para infinitas soluções o posto da matriz ampliada deve ser também 2.

Passo 4

A matriz ampliada para b=3 é
\bigl[A\mid\mathbf{c}\bigr] =\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & \vline & a\\\\ 2 & -1 & 3 & \vline & 2\\\\ 1 & 1 & 3 & \vline & 0 \end{pmatrix}.
Como já vimos \mathrm{posto}(A)=2, precisamos que a terceira linha seja combinação linear das duas primeiras. Procuramos \lambda,\mu tais que
\lambda\,(1,-1,1)+\mu\,(2,-1,3)=(1,1,3).
Das equações \lambda+2\mu=1 e -\lambda-\mu=1 segue \mu=2, \lambda=-3, que satisfaz também \lambda+3\mu=3. Na coluna dos termos independentes, essa combinação dá
-3\cdot a + 2\cdot 2 = 0 \;\Longrightarrow\; a = \tfrac{4}{3}.

Resposta

a=\tfrac{4}{3} e b=3.

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