Utilize o método de Gauss para resolver o sistema
\left\{\begin{array}{l} x+y-z=0 \\\\ 2 x+y+z=1 \\\\ 3 x-y+z=1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método de eliminação de Gauss, o sistema
\begin{cases} x + y - z = 0,\\\\ 2x + y + z = 1,\\\\ 3x - y + z = 1. \end{cases}
Vamos montar a matriz ampliada e usar operações elementares para reduzir a um sistema triangular.

Passo 2

Montamos a matriz ampliada do sistema:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 0\\\\ 2 & 1 & 1 & 1\\\\ 3 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right]
Agora eliminamos x de R2 e R3 usando R1:
\text{R2}\leftarrow\text{R2}-2\,\text{R1},\quad \text{R3}\leftarrow\text{R3}-3\,\text{R1}.
Isso produz
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 0\\\\ 0 & -1 & 3 & 1\\\\ 0 & -4 & 4 & 1 \end{array}\right].

Passo 3

Eliminamos y da terceira linha usando a nova R2:
\text{R3}\leftarrow\text{R3}-4\,\text{R2},
ficando
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 0\\\\ 0 & -1 & 3 & 1\\\\ 0 & 0 & -8 & -3 \end{array}\right].
Agora temos o sistema triangular equivalente:
\begin{cases} x + y - z = 0,\\\\ -\,y + 3z = 1,\\\\ -8z = -3. \end{cases}

Passo 4

Fazemos a retrossubstituição em ordem inversa:
  1. Da terceira equação, -8z=-3 implica
z = \frac{-3}{-8} = \frac{3}{8}.
  1. Substituindo z na segunda, -y+3z=1
-y + 3\cdot\frac{3}{8} = 1 \;\Longrightarrow\; -y + \frac{9}{8}=1 \;\Longrightarrow\; y = \frac{1}{8}.
  1. Finalmente, na primeira, x+y-z=0 resulta
x + \frac{1}{8} - \frac{3}{8} = 0 \;\Longrightarrow\; x = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}.

Resposta

(x,y,z) = \bigl(\tfrac{1}{4},\,\tfrac{1}{8},\,\tfrac{3}{8}\bigr).

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