S-3.57 Mostre que se m e n são números inteiros, então x=2 m n, y=m^2-n^2 e z=m^2+n^2 são soluções da equação pitagórica x^2+y^2=z^2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para inteiros m e n, definindo
x = 2,m,n, y = m^2 - n^2, z = m^2 + n^2,
temos a identidade pitagórica
x^2 + y^2 = z^2
O conteúdo envolve manipulação algébrica de potências e soma de quadrados.

Passo 2

Primeiro calculamos cada quadrado separadamente:
x^2 = (2mn)^2 = 4,m^2n^2,
y^2 = (m^2 - n^2)^2 = m^4 - 2,m^2n^2 + n^4
Somando-os, obtemos
x^2 + y^2 = 4,m^2n^2 + l(m^4 - 2,m^2n^2 + n^4r) = m^4 + 2,m^2n^2 + n^4

Passo 3

Reconhecemos que
m^4 + 2,m^2n^2 + n^4 = (m^2 + n^2)^2 = z^2
Logo
x^2 + y^2 = z^2,
o que demonstra que (x,y,z) é uma solução da equação pitagórica.

Resposta

(2mn)^2 + (m^2-n^2)^2 = (m^2+n^2)^2,
portanto x^2+y^2=z^2.

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