S-4.1

(a) Mostre que os restos da divisão de n inteiros consecutivos são os números 1,2, ldots, n em alguma ordem.
(b) Utilizando a fórmula:
1+2+cdots+n=n(n+1)2
conclua que a soma de n inteiros consecutivos quando dividida por n deixa resto zero se n é ímpar e metade de n, se n é par.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. Primeiro, em (a), mostrar que, para n inteiros consecutivos, os restos da divisão por n formam exatamente o conjunto 1,2,dots,n, em alguma ordem. Isso envolve a ideia de aritmética modular e o fato de que ao somar 1 repetidamente mod n você percorre todos os resíduos. Em (b), queremos usar a fórmula
1+2+cdots+n = n(n+1)2
para concluir qual é o resto da soma desses n inteiros consecutivos quando dividida por n, distinguindo os casos n par e n ímpar.

Passo 2

Sejam os n inteiros consecutivos
k+1,;k+2,;dots,;k+n
Escrevamos k na forma
k = qn + r, 0<= r<= n-1
Então, para i=1,2,dots,n,
k+i = qn + r + i
O resto de k+i na divisão por n é o resto de r+i em módulo n. Como i varia de 1 a n, os valores de r+i percorrem r+1,r+2,dots,r+n. Tomando módulo n, estes restos são exatamente todos os elementos de 1,2,dots,n, possivelmente em ordem cíclica (se r>0 começamos em r+1 até n e depois 1 até r; se r=0 é a ordem natural). Logo, os n restos são 1,2,dots,n em alguma ordem.

Passo 3

Agora somemos esses mesmos n inteiros consecutivos:
S = (k+1)+(k+2)+cdots+(k+n)
Isso é a soma de n termos de progressão aritmética de primeiro termo k+1 e último termo k+n. Também podemos escrever
S = nk + (1+2+cdots+n) = nk + n(n+1)2
Para saber o resto de S na divisão por n, note que nk é múltiplo de n e não contribui para o resto. Assim,
S equiv n(n+1)2 pmodn

Passo 4

Analisemos n(n+1)2bmod n:
  • Se n é ímpar, então n+1 é par, digamos n+1=2m. Logo n(n+1)2 = ncdot2m2 = nm, que é múltiplo de n. Portanto o resto é zero.
  • Se n é par, então n=2m e n+1 é ímpar. Assim n(n+1)2 = 2m,(n+1)2 = m,(n+1) = mn + m O termo mn some módulo n e sobra m = tfracn2. Portanto o resto é n/2.

Resposta

(a) Os restos de n inteiros consecutivos ao dividir por n são exatamente os números 1,2,dots,n em alguma ordem.
(b) A soma de n inteiros consecutivos deixa resto zero se n é ímpar e resto tfracn2 se n é par.

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