S-4.1
(a) Mostre que os restos da divisão de
inteiros consecutivos são os números
em alguma ordem.
(b) Utilizando a fórmula:
conclua que a soma de
inteiros consecutivos quando dividida por
deixa resto zero se
é ímpar e metade de
, se
é par.
(b) Utilizando a fórmula:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas. Primeiro, em (a), mostrar que, para
inteiros consecutivos, os restos da divisão por
formam exatamente o conjunto
, em alguma ordem. Isso envolve a ideia de aritmética modular e o fato de que ao somar 1 repetidamente mod
você percorre todos os resíduos. Em (b), queremos usar a fórmula
para concluir qual é o resto da soma desses
inteiros consecutivos quando dividida por
, distinguindo os casos
par e
ímpar.
Passo 2
Sejam os
inteiros consecutivos
Escrevamos
na forma
Então, para
,
O resto de
na divisão por
é o resto de
em módulo
. Como
varia de 1 a
, os valores de
percorrem
. Tomando módulo
, estes restos são exatamente todos os elementos de
, possivelmente em ordem cíclica (se
começamos em
até
e depois
até
; se
é a ordem natural). Logo, os
restos são
em alguma ordem.
Passo 3
Agora somemos esses mesmos
inteiros consecutivos:
Isso é a soma de
termos de progressão aritmética de primeiro termo
e último termo
. Também podemos escrever
Para saber o resto de
na divisão por
, note que
é múltiplo de
e não contribui para o resto. Assim,
Passo 4
Analisemos
:
- Se
é ímpar, então é par, digamos . Logo que é múltiplo de . Portanto o resto é zero. - Se
é par, então e é ímpar. Assim O termo some módulo e sobra . Portanto o resto é .
Resposta
(a) Os restos de
inteiros consecutivos ao dividir por
são exatamente os números
em alguma ordem.
(b) A soma de
inteiros consecutivos deixa resto zero se
é ímpar e resto
se
é par.