Encontre a transformada de Laplace das funções.
f(t)=e^-2 t cos 4 t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função f(t) = e^-2 t cos 4 t. A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática que ajuda a resolver equações diferenciais transformando funções do tempo t para o domínio da frequência s. Para resolver isso, vamos precisar saber a fórmula da transformada de Laplace para funções da forma e^a t cos(b t).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da transformada de Laplace para e^a t cos(b t). A fórmula é:
Le^a t cos(b t) = s - a(s - a)^2 + b^2
Aqui, a e b são constantes, e s é a variável da transformada de Laplace. Essa fórmula nos permite transformar a função do tempo para o domínio de s.

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores de a e b na nossa função f(t) = e^-2 t cos 4 t. Comparando com a forma geral e^a t cos(b t), vemos que:
  • a = -2
  • b = 4
Esses valores serão usados na fórmula da transformada de Laplace.

Passo 4

Vamos substituir os valores de a e b na fórmula da transformada de Laplace:
Le^-2 t cos 4 t = s - (-2)(s - (-2))^2 + 4^2
Simplificando os sinais:
s + 2(s + 2)^2 + 16

Passo 5

Então, a transformada de Laplace da função f(t) = e^-2 t cos 4 t é:
Lf(t) = s + 2(s + 2)^2 + 16

Resposta

A transformada de Laplace da função f(t) = e^-2 t cos 4 t é:
Lf(t) = s + 2(s + 2)^2 + 16

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