S-3.56 Mostre que a equação
não admite nenhuma solução em
e
, com
e
ambos primos com 3 .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que não existem inteiros
satisfazendo
quando
e
são ambos primos com 3 (isto é,
). O conteúdo que vamos usar é aritmética modular, em particular os resíduos quadráticos modulo 3.
Passo 2
Estudamos os quadrados módulo 3. Para todo inteiro
valem as seguintes possibilidades:
Passo 3
Como
e
são coprimos com 3, temos
logo
Somando,
Passo 4
Mas qualquer quadrado
só pode ser congruente a 0 ou a 1 módulo 3, nunca a 2. Ou seja, não existe
tal que
Isso contradiz
quando
.
Resposta
Não existem soluções inteiras
de
com
e
ambos coprimos com 3.