S-3.56 Mostre que a equação x^2+y^2=z^2 não admite nenhuma solução em x, y e z, com x e y ambos primos com 3 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existem inteiros x,y,z satisfazendo
x^2+y^2=z^2
quando x e y são ambos primos com 3 (isto é, gcd(x,3)=gcd(y,3)=1). O conteúdo que vamos usar é aritmética modular, em particular os resíduos quadráticos modulo 3.

Passo 2

Estudamos os quadrados módulo 3. Para todo inteiro n valem as seguintes possibilidades:
nequiv0pmod3implies n^2equiv0pmod3, nequiv1 ou 2pmod3implies n^2equiv1pmod3

Passo 3

Como x e y são coprimos com 3, temos
xnotequiv0pmod3, ynotequiv0pmod3,
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x^2equiv1pmod3, y^2equiv1pmod3
Somando,
x^2+y^2equiv1+1equiv2pmod3

Passo 4

Mas qualquer quadrado z^2 só pode ser congruente a 0 ou a 1 módulo 3, nunca a 2. Ou seja, não existe z tal que
z^2equiv2pmod3
Isso contradiz x^2+y^2=z^2 quando x,ynotequiv0pmod3.

Resposta

Não existem soluções inteiras (x,y,z) de
x^2+y^2=z^2
com x e y ambos coprimos com 3.

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