2.58 Demonstre as afirmações seguintes.
é invertível se, e só se,
é invertível.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para uma matriz quadrada
, vale
O conteúdo envolvido é álgebra linear básica: definição de matriz inversa e propriedades da transposição.
Passo 2
Suponha que
seja invertível. Então existe
tal que
Tomando transposta em ambos os lados e usando
e
, obtemos
Logo
tem inversa
, isto é,
é invertível.
Passo 3
Para o recíproco, suponha que
seja invertível. Então
existe e, aplicando ao caso de
, segue que
é invertível, com inversa
.
Resposta
Demonstra-se assim que
é invertível se, e só se,
é invertível, e ainda se obtém explicitamente