2.58 Demonstre as afirmações seguintes.
A é invertível se, e só se, A^T é invertível.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma matriz quadrada A, vale
A é invertível Long<=ftrightarrow A^T é invertível éíéí
O conteúdo envolvido é álgebra linear básica: definição de matriz inversa e propriedades da transposição.

Passo 2

Suponha que A seja invertível. Então existe A^-1 tal que
A,A^-1=I
Tomando transposta em ambos os lados e usando (XY)^T=Y^TX^T e I^T=I, obtemos
(A,A^-1)^T=I^T Longrightarrow (A^-1)^T,(A)^T=I
Logo (A)^T tem inversa (A^-1)^T, isto é, A^T é invertível.

Passo 3

Para o recíproco, suponha que A^T seja invertível. Então l(A^Tr)^-1 existe e, aplicando ao caso de l(A^Tr)^T=A, segue que
A=l(A^Tr)^T
é invertível, com inversa l((A^T)^-1r)^T.

Resposta

Demonstra-se assim que A é invertível se, e só se, A^T é invertível, e ainda se obtém explicitamente
(A^T)^-1=(A^-1)^T

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