2.59 Sejam A=diag(1,2,-3) e B=diag(2,-5,0). Encontre (a) A B, A^2 e B^2 ;( b) f(A), onde f(x)=x^2+4 x-3; (c) A^-1 e B^-1.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes diagonais
A = diag(1,2,-3), B = diag(2,-5,0)
e pede:
(a) o produto AB e as potências A^2, B^2;
(b) o polinômio de matriz f(A) com f(x)=x^2+4x-3;
(c) as inversas A^-1 e B^-1.
Para resolver usamos a propriedade de que, para matrizes diagonais, todas essas operações atuam diretamente nos elementos da diagonal.

Passo 2

Calculamos AB, A^2 e B^2 elemento a elemento na diagonal:
AB = diag(1cdot2,;2cdot(-5),;(-3)cdot0) = diag(2,-10,0),
A^2 = diag(1^2,;2^2,;(-3)^2) = diag(1,4,9),
B^2 = diag(2^2,;(-5)^2,;0^2) = diag(4,25,0)

Passo 3

Para f(A) usamos
f(A) = A^2 + 4A - 3I
Como tudo é diagonal, basta aplicar f a cada entrada da diagonal de A:
f(1)=1^2+4cdot1-3=2, f(2)=2^2+4cdot2-3=9, f(-3)=(-3)^2+4cdot(-3)-3=-6
Logo
f(A)=diag(2,9,-6)

Passo 4

Para a inversa de A basta inverter cada diagonal não nula:
A^-1 = diagl(1^-1,,2^-1,,(-3)^-1r) = diagl(1,tfrac12,-tfrac13r)
B tem um zero na diagonal, logo det B=0 e B^-1 não existe.

Resposta

(a) AB=diag(2,-10,0), A^2=diag(1,4,9), B^2=diag(4,25,0)
(b) f(A)=diag(2,9,-6)
(c) A^-1=diagl(1,tfrac12,-tfrac13r) e B^-1 não existe.

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