2.58 Demonstre as afirmações seguintes.
Se A tem alguma linha nula ou coluna nula, então A não é invertível.

Passo 1

O enunciado fala de uma matriz quadrada A e pede para mostrar que se A tem alguma linha nula ou alguma coluna nula, então A não é invertível. Vamos usar o fato fundamental:
A é invertívelLong<=ftrightarrowdet(A)neq 0 éí

Passo 2

Suponha que A tenha a i-ésima linha toda nula, ou seja, ai1=ai2=cdots=ain=0. Ao calcular det(A) por expansão de Laplace ao longo da linha i, cada termo da soma é da forma
aij,Cij
com aij=0. Logo
det(A)=sumj=1^naijCij =sumj=1^n0cdot Cij=0
Como det(A)=0, concluímos que A não é invertível.

Passo 3

Agora suponha que A tenha a j-ésima coluna toda nula, ou seja, a1j=a2j=cdots=anj=0. Considere a transposta A^T. Nesse caso, a j-ésima coluna de A vira a j-ésima linha de A^T, e essa linha é nula. Pelo passo anterior, det(A^T)=0. Mas sabemos que
det(A^T)=det(A),
então det(A)=0 e A também não é invertível.

Resposta

Seja por linha nula ou por coluna nula, sempre det(A)=0, portanto A não é invertível.

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