2.58 Demonstre as afirmações seguintes.
tem alguma linha nula ou coluna nula, então
não é invertível.
Passo 1
O enunciado fala de uma matriz quadrada
e pede para mostrar que se
tem alguma linha nula ou alguma coluna nula, então
não é invertível. Vamos usar o fato fundamental:
Passo 2
Suponha que
tenha a
-ésima linha toda nula, ou seja,
. Ao calcular
por expansão de Laplace ao longo da linha
, cada termo da soma é da forma
com
. Logo
Como
, concluímos que
não é invertível.
Passo 3
Agora suponha que
tenha a
-ésima coluna toda nula, ou seja,
. Considere a transposta
. Nesse caso, a
-ésima coluna de
vira a
-ésima linha de
, e essa linha é nula. Pelo passo anterior,
. Mas sabemos que
então
e
também não é invertível.
Resposta
Seja por linha nula ou por coluna nula, sempre
, portanto
não é invertível.