2.60 Sejam A=[ll1 & 2 0 & 1] e B=[lll1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1]. (a) Encontre A^n. (b) Encontre B^n.

Passo 1

O enunciado nos dá duas matrizes triangulares superiores com todos os autovalores iguais a 1:
A = 1 & 20 & 1, B = 1 & 1 & 00 & 1 & 10 & 0 & 1
O objetivo é encontrar fórmulas fechadas para A^n e B^n. Vamos usar o fato de que essas matrizes são da forma I+N, onde N é nilpotente, e aplicar a expansão binomial matricial.

Passo 2

Para A, definimos
NA = A - I = 0 & 20 & 0
Note que
NA^2 = 0 & 20 & 0^2 = 0 & 00 & 0,
logo NA é nilpotente de índice 2.

Passo 3

Pela expansão binomial matricial temos
A^n = (I + NA)^n = sumk=0^n binomnkNA^k = I + n,NA,
pois todos os termos com k>=2 desaparecem. Portanto
A^n = I + n,0 & 20 & 0 = 1 & 2n0 & 1

Passo 4

Para B, definimos
NB = B - I = 0 & 1 & 00 & 0 & 10 & 0 & 0
Calculamos
NB^2 = 0 & 1 & 00 & 0 & 10 & 0 & 0^2 = 0 & 0 & 10 & 0 & 00 & 0 & 0, NB^3 = 0

Passo 5

Usando a expansão binomial até k=2, pois NB^3=0, obtemos
B^n = (I + NB)^n = sumk=0^nbinomnkNB^k = I + n,NB + n(n-1)2,NB^2
Substituindo NB e NB^2, vem
B^n = I + n0 & 1 & 00 & 0 & 10 & 0 & 0 + n(n-1)20 & 0 & 10 & 0 & 00 & 0 & 0 = 1 & n & tfracn(n-1)2 0 & 1 & n 0 & 0 & 1

Resposta

A^n = 1 & 2n0 & 1
B^n = 1 & n & tfracn(n-1)20 & 1 & n0 & 0 & 1

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