O enunciado nos dá duas matrizes triangulares superiores com todos os autovalores iguais a 1:
A = 1 & 20 & 1, B = 1 & 1 & 00 & 1 & 10 & 0 & 1
O objetivo é encontrar fórmulas fechadas para A^n e B^n. Vamos usar o fato de que essas matrizes são da forma I+N, onde N é nilpotente, e aplicar a expansão binomial matricial.
Passo 2
Para A, definimos
NA = A - I = 0 & 20 & 0
Note que
NA^2 = 0 & 20 & 0^2 = 0 & 00 & 0,
logo NA é nilpotente de índice 2.
Passo 3
Pela expansão binomial matricial temos
A^n = (I + NA)^n = sumk=0^n binomnkNA^k = I + n,NA,
pois todos os termos com k>=2 desaparecem. Portanto