seja:
(a) Possível e determinado.
(b) Impossível.
(c)Possível e indeterminado.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} x + y + z = 0,\\\ x + 2y + k\,z = 2,\\\ k\,x + 2y + z = -2, \end{cases}
e pede para classificar em função de k se o sistema é
(a) possível e determinado (solução única),
(b) impossível (sem solução),
(c) possível e indeterminado (infinitas soluções).
O conteúdo que vamos usar é o estudo do determinante da matriz de coeficientes e, quando esse determinante for zero, conferirmos consistência pelas equações.
Passo 2
Formamos a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 2 & k\\\ k & 2 & 1 \end{pmatrix},
e calculamos seu determinante \det(A). Usando expansão pela primeira linha: