Determine o valor de k para que o sistema
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=0 \\\ x+2 y+k z=2 \\\ k x+2 y+z=-2 \end{array}\right.
seja:
(a) Possível e determinado.
(b) Impossível.
(c)Possível e indeterminado.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} x + y + z = 0,\\\ x + 2y + k\,z = 2,\\\ k\,x + 2y + z = -2, \end{cases}
e pede para classificar em função de k se o sistema é
(a) possível e determinado (solução única),
(b) impossível (sem solução),
(c) possível e indeterminado (infinitas soluções).
O conteúdo que vamos usar é o estudo do determinante da matriz de coeficientes e, quando esse determinante for zero, conferirmos consistência pelas equações.

Passo 2

Formamos a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 2 & k\\\ k & 2 & 1 \end{pmatrix},
e calculamos seu determinante \det(A). Usando expansão pela primeira linha:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & k\\\ 2 & 1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & k\k & 1\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 2\k & 2\end{pmatrix}.
Cada menor é
\det\begin{pmatrix}2 & k\\\ 2 & 1\end{pmatrix} =2\cdot1 - k\cdot2 = 2-2k,
\det\begin{pmatrix}1 & k\k & 1\end{pmatrix} =1\cdot1 - k\cdot k =1-k^2,
\det\begin{pmatrix}1 & 2\k & 2\end{pmatrix} =1\cdot2 -2\cdot k =2-2k.
Logo
\det(A)=(2-2k)-\bigl(1-k^2\bigr)+(2-2k) =k^2-4k+3 =(k-1)(k-3).

Passo 3

Se \det(A)\neq0, isto é, k\neq1 e k\neq3, a matriz A é invertível e o sistema tem solução única. Portanto, para
k\neq1,3
o sistema é possível e determinado.

Passo 4

Para k=1, temos \det(A)=0, e as duas últimas equações tornam-se
x +2y+1\cdot z=2, \qquad 1\cdot x+2y+z=-2.
O lado esquerdo é idêntico, mas o direito é 2 em uma e -2 na outra, gerando contradição. Logo, não há solução quando
k=1.

Passo 5

Para k=3, \det(A)=0. As primeiras duas equações são
x+y+z=0, \qquad x+2y+3z=2.
Resolvendo-as em função de z obtemos infinitas soluções do tipo
x=-2+z,\quad y=2-2z,\quad z\text{ livre}.
Ao substituir na terceira equação
3x+2y+z=-2
, ela fica satisfeita automaticamente, sem gerar contradição nem fixar z. Logo, há infinitas soluções quando
k=3.

Resposta

(a) Possível e determinado para k\neq1,3.
(b) Impossível para k=1.
(c) Possível e indeterminado para k=3.

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