[58] Numa epidemia de gripe, o número de pessoas num bairro que pegaram gripe após t dias é dado por L(t)=900001+1990 e^-0.5 t.
a) Quantas pessoas foram infectadas após 1 dia, após 10 dias?
b) Em quantos dias 50000 pessoas ficaram com gripe?

Passo 1

O enunciado nos dá uma função logística que modela o número de infectados em função do tempo t:
L(t) = 900001 + 1990,e^-0.5,t
O conteúdo aqui é manipulação de funções exponenciais: primeiro vamos avaliar L(t) em valores dados (item a) e depois resolver a equação L(t)=50000 para encontrar o tempo t (item b).

Passo 2

Para o item (a), calculamos
L(1) = 900001 + 1990,e^-0.5cdot1 e L(10) = 900001 + 1990,e^-0.5cdot10
Primeiro note que e^-0.5approx0,6065 e e^-5approx0,0067379. Então
L(1) approx 900001 + 1990cdot0,6065 = 900001 + 1206,9 = 900001207,9 approx74,6,
L(10) approx 900001 + 1990cdot0,0067379 = 900001 + 13,407 = 9000014,407 approx6247,8
Arredondando ao inteiro mais próximo, temos cerca de 75 pessoas após 1 dia e 6248 pessoas após 10 dias.

Passo 3

Para o item (b), resolvemos
900001 + 1990,e^-0.5,t = 50000
Passo a passo:
1 + 1990,e^-0.5t = 9000050000 = 1,8,
1990,e^-0.5t = 1,8 - 1 = 0,8,
e^-0.5t = 0,81990 approx 4,02times10^-4,
-0.5,t = lnl(4,02times10^-4r)approx -7,82,
t approx -7,82-0.5 = 15,64 dias

Resposta

a) Após 1 dia: aproximadamente 75 pessoas.
Após 10 dias: aproximadamente 6248 pessoas.
b) Cerca de 15,6 dias para atingir 50000 infectados.

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