Calcule as integrais usando frações parciais
integral 1(x+1)(x+2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral 1(x+1)(x+2) , dx
usando o método de frações parciais. Vamos decompor a função racional em termos de pequenas parcelas do tipo tfrac1x+a para depois integrar facilmente.

Passo 2

Assumimos que
1(x+1)(x+2) = Ax+1 + Bx+2
Multiplicando ambos os lados por (x+1)(x+2) obtemos a identidade
1 = A(x+2) + B(x+1)

Passo 3

Para determinar A e B, basta escolher valores de x que eliminem um termo de cada vez:
Para x=-1:
1 = A(-1+2) + Bcdot0 Longrightarrow A = 1
Para x=-2:
1 = Acdot0 + B(-2+1) Longrightarrow B = -1
Logo
1(x+1)(x+2) = 1x+1 - 1x+2

Passo 4

Substituindo na integral, temos
integral 1(x+1)(x+2) , dx = integral l(1x+1 - 1x+2r),dx
Agora usamos que integral 1x+a,dx = lnlvert x+arvert + C, daí
integral 1x+1,dx = lnlvert x+1rvert, integral 1x+2,dx = lnlvert x+2rvert
Portanto
integral 1(x+1)(x+2) , dx = lnlvert x+1rvert - lnlvert x+2rvert + C

Resposta

lnllvert x+1rrvert ;-;lnllvert x+2rrvert + C

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