Sejam f(t)=t^2+3, g(t)=2 t^3-3 t, u(t)=t i-t^2 j+2 t k, e v(t)=i-2 t j+3 t^2 k. Determine
dd t(f(t) u+g(t) v)

Passo 1

O enunciado define as funções escalares
f(t)=t^2+3 e g(t)=2,t^3-3,t
e as funções vetoriais
vec u(t)=t,vec i - t^2,vec j + 2,t,vec k e vec v(t)=vec i -2,t,vec j +3,t^2,vec k.
Queremos calcular
ddtl(f(t),vec u(t)+g(t),vec v(t)r),
usando a regra do produto para funções escalares e vetoriais.

Passo 2

Pela regra do produto e da soma, temos
ddtl(f,vec u + g,vec vr) = f',vec u + f,vec u' + g',vec v + g,vec v'

Passo 3

Calculamos as derivadas escalares:
f'(t)=ddtl(t^2+3r)=2,t, g'(t)=ddtl(2,t^3-3,tr)=6,t^2-3

Passo 4

Calculamos as derivadas vetoriais componente a componente:
vec u'(t) =ddtllang<= t,,-t^2,,2,trrang<= =llang<= 1,,-2,t,,2rrang<=,
vec v'(t) =ddtllang<= 1,,-2,t,,3,t^2rrang<= =llang<= 0,,-2,,6,trrang<=

Passo 5

Substituindo em
f',vec u + f,vec u' + g',vec v + g,vec v',
obtemos o vetor não simplificado
2,tllang<= t,,-t^2,,2,trrang<= +(t^2+3)llang<= 1,,-2,t,,2rrang<= +(6,t^2-3)llang<= 1,,-2,t,,3,t^2rrang<= +(2,t^3-3,t)llang<= 0,,-2,,6,trrang<=

Passo 6

Multiplicando cada escalar pelas componentes e somando, simplificamos para
ddt(f,vec u+g,vec v) =llang<= 9,t^2,,-20,t^3+6,t,,30,t^4-21,t^2+6rrang<=

Resposta

ddtl(f(t),vec u(t)+g(t),vec v(t)r) =9,t^2,vec i ;+;l(-20,t^3+6,tr),vec j ;+;l(30,t^4-21,t^2+6r),vec k

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