Sejam f(t)=t^2+3, g(t)=2 t^3-3 t, u(t)=t i-t^2 j+2 t k, e v(t)=i-2 t j+3 t^2 k. Determine
u times d vd t-f(t) u cdot d vd t v

Passo 1

O enunciado define
f(t)=t^2+3,
g(t)=2t^3-3t (que não será usada na expressão pedida),
vec u(t)=t,vec i - t^2,vec j + 2t,vec k
e
vec v(t)=vec i - 2t,vec j + 3t^2,vec k.
Queremos calcular
vec utimesdvec vdt;-;f(t),l(vec ucdotdvec vdtr),vec v
Para isso vamos:
  1. derivar vec v;
  2. fazer o produto vetorial vec utimes dvec v/dt;
  3. fazer o produto escalar vec ucdot dvec v/dt;
  4. multiplicar por f(t) e pelo vetor vec v;
  5. subtrair vetorialmente.

Passo 2

Derivando vec v(t) termo a termo,
dvec vdt =ddtllang<= 1,,-2t,,3t^2rrang<= =llang<= 0,,-2,,6trrang<=

Passo 3

Agora o produto vetorial
vec u(t)=lang<= t,,-t^2,,2trang<=
com
dvec vdt=lang<=0,-2,6trang<=.
Usando a fórmula do determinante,
vec utimesdvec vdt = vec i & vec j & vec k t & -t^2 & 2t 0 & -2 & 6t =llang<= -6t^3+4t,;-6t^2,;-2trrang<=

Passo 4

Em seguida o produto escalar
vec ucdotdvec vdt =lang<= t,-t^2,2trang<=cdotlang<=0,-2,6trang<= =0 + 2t^2 +12t^2 =14t^2

Passo 5

Multiplicamos pelo escalar f(t)=t^2+3 e pelo vetor vec v=lang<=1,-2t,3t^2rang<=:
f(t),l(vec ucdotdvec vdtr),vec v =(t^2+3)(14t^2),lang<=1,-2t,3t^2rang<= =lang<=14t^4+42t^2,,-28t^5-84t^3,;42t^6+126t^4rang<=

Passo 6

Finalmente fazemos a diferença vetorial:
vec utimesdvec vdt ;-; f(t),l(vec ucdotdvec vdtr),vec v =llang<= -6t^3+4t,,-6t^2,,-2trrang<= -llang<=14t^4+42t^2,,-28t^5-84t^3,;42t^6+126t^4rrang<=
Subtraindo componente a componente, obtemos
llang<= -14t^4-6t^3-42t^2+4t,; 28t^5+84t^3-6t^2,; -42t^6-126t^4-2t rrang<=

Resposta

boxed llang<= -14t^4-6t^3-42t^2+4t,; 28t^5+84t^3-6t^2,; -42t^6-126t^4-2t rrang<=

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