Esboce as curvas de nível de f(x, y) para os valores dados de k :
f(x, y)=x^2-y^2, k=-2,-1,0,1,2

Passo 1

O enunciado pede para esboçar as curvas de nível da função
f(x,y)=x^2-y^2
para os valores de k=-2,-1,0,1,2. O conteúdo aqui é “curvas de nível” de funções de duas variáveis, que são obtidas resolvendo
x^2-y^2=k
para cada valor de k.

Passo 2

Escrevendo de modo geral a equação da curva de nível:
x^2-y^2=k
Para todo k, esse é o lugar geométrico de pontos (x,y) cuja diferença de quadrados vale k. São hipérboles quando kneq0 e, para k=0, degeneram-se nas retas que serão as assíntotas.

Passo 3

Caso k>0, temos
x^2-y^2=kLongrightarrowx^2k-y^2k=1
Isto é uma hipérbole com eixo transverse ao longo do eixo x, cujas duas “folhas” abrem para a direita e para a esquerda. Quanto maior k, mais afastadas do eixo y.

Passo 4

Caso k<0, escrevemos k=-|k| e obtemos
x^2-y^2=-|k|Longrightarrowy^2|k|-x^2|k|=1
Agora é uma hipérbole com eixo transverse ao longo do eixo y, ou seja, “folhas” abrindo para cima e para baixo. Quanto maior |k|, mais afastadas do eixo x.

Passo 5

Para k=0, a equação fica
x^2-y^2=0Longrightarrow x^2=y^2Longrightarrow y=pm x
Isto significa duas retas passando pela origem, que são as assíntotas das hipérboles de todos os outros níveis.

Resposta

As curvas de nível são:
k=-2: hipérbole x^2-y^2=-2 com ramos verticais (abrem para cima/baixo).
k=-1: hipérbole x^2-y^2=-1 com ramos verticais.
k=0: retas y=x e y=-x.
k=1: hipérbole x^2-y^2=1 com ramos horizontais (abrem para direita/esquerda).
k=2: hipérbole x^2-y^2=2 com ramos horizontais.

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