Esboce as curvas de nível de
para os valores dados de k :
Passo 1
O enunciado pede para esboçar as curvas de nível da função
para os valores de
. O conteúdo aqui é “curvas de nível” de funções de duas variáveis, que são obtidas resolvendo
para cada valor de
.
Passo 2
Escrevendo de modo geral a equação da curva de nível:
Para todo
, esse é o lugar geométrico de pontos
cuja diferença de quadrados vale
. São hipérboles quando
e, para
, degeneram-se nas retas que serão as assíntotas.
Passo 3
Caso
, temos
Isto é uma hipérbole com eixo transverse ao longo do eixo
, cujas duas “folhas” abrem para a direita e para a esquerda. Quanto maior
, mais afastadas do eixo
.
Passo 4
Caso
, escrevemos
e obtemos
Agora é uma hipérbole com eixo transverse ao longo do eixo
, ou seja, “folhas” abrindo para cima e para baixo. Quanto maior
, mais afastadas do eixo
.
Passo 5
Para
, a equação fica
Isto significa duas retas passando pela origem, que são as assíntotas das hipérboles de todos os outros níveis.
Resposta
As curvas de nível são:
hipérbole
com ramos verticais (abrem para cima/baixo).
hipérbole
com ramos verticais.
retas
e
.
hipérbole
com ramos horizontais (abrem para direita/esquerda).
hipérbole
com ramos horizontais.