3.58 A equação a ser resolvida é 5 x+7 y=100, que possui solução pois 5 e 7 são primos entre si. Uma solução particular é dada por x0=20 e y0=0. Logo a solução geral é da forma: x=20-7 t e y=5 t, com t número natural e 20-7 t >= 0 para que as soluções sejam não negativas. Assim obtemos as seguintes possibilidades: x=20, y=0 ; x=13, y=5 e x=6, y=10.

Passo 1

Resumindo, precisamos encontrar todas as soluções em inteiros não negativos da equação diofantina
5x + 7y = 100
O conteúdo aqui é resolução de equação diofantina linear: primeiro achamos uma solução particular, depois escrevemos a solução geral e, por fim, impomos as condições x>=0 e y>=0.

Passo 2

Como gcd(5,7)=1, existe solução inteira. Para achar uma solução particular, basta notar que se y=0 então
5x = 100 Longrightarrow x=20
Logo um par (x0,y0)=(20,0) satisfaz a equação.

Passo 3

A solução geral de
5x + 7y = 100
é dada por
x = x0 - 7t, y = y0 + 5t,
onde t é um inteiro. Substituindo (x0,y0)=(20,0), temos
x = 20 - 7t, y = 5t

Passo 4

Agora impomos a condição de não negatividade:
x>=0 Longrightarrow 20 - 7t >= 0 Longrightarrow t <= 207approx2,85,
y>=0 Longrightarrow 5t >= 0 Longrightarrow t >= 0
Como t é inteiro, seguem-se t=0,1,2.

Passo 5

Para cada t temos:
  • t=0: x=20-7cdot0=20, y=5cdot0=0.
  • t=1: x=20-7cdot1=13, y=5cdot1=5.
  • t=2: x=20-7cdot2=6, y=5cdot2=10.

Resposta

As soluções em inteiros não negativos de 5x+7y=100 são
(x,y) = (20,0),;(13,5),;(6,10)

Exercícios relacionados