3.58 A equação a ser resolvida é
, que possui solução pois 5 e 7 são primos entre si. Uma solução particular é dada por
e
. Logo a solução geral é da forma:
e
, com
número natural e
para que as soluções sejam não negativas. Assim obtemos as seguintes possibilidades:
e
.
Passo 1
Resumindo, precisamos encontrar todas as soluções em inteiros não negativos da equação diofantina
O conteúdo aqui é resolução de equação diofantina linear: primeiro achamos uma solução particular, depois escrevemos a solução geral e, por fim, impomos as condições
e
.
Passo 2
Como
, existe solução inteira. Para achar uma solução particular, basta notar que se
então
Logo um par
satisfaz a equação.
Passo 3
A solução geral de
é dada por
onde
é um inteiro. Substituindo
, temos
Passo 4
Agora impomos a condição de não negatividade:
Como
é inteiro, seguem-se
.
Passo 5
Para cada
temos:
-
: , . -
: , . -
: , .
Resposta
As soluções em inteiros não negativos de
são