Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição.
integral (e^2 t+2)^1 / 3 e^2 t d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral l(e^2t+2r)^tfrac13,e^2t,dt
O conteúdo aqui é o método de substituição: identificar uma parte da expressão cuja derivada também aparece no integrando.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = e^2t + 2
Em seguida, derivamos ambos os lados em relação a t:
dudt = 2e^2t Longrightarrow du = 2,e^2t,dt Longrightarrow e^2t,dt = du2

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
integral l(e^2t+2r)^tfrac13,e^2t,dt = integral u^tfrac13cdotdu2 = 12integral u^tfrac13,du

Passo 4

Agora calculamos a integral em u:
integral u^tfrac13,du = u^tfrac43tfrac43 + C = 34,u^tfrac43 + C
Multiplicando pelo fator tfrac12,
12integral u^tfrac13,du = 12cdot34,u^tfrac43 + C = 38,u^tfrac43 + C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável t usando u = e^2t+2. Assim, uma primitiva da integral dada é
38l(e^2t+2r)^tfrac43 + C

Resposta

38l(e^2t+2r)^tfrac43 + C

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