58- (Fuvest-SP) Escolhido ao acaso um elemento do conjunto dos divisores positivos de 60, a probabilidade de que ele seja primo é:
a) 1 / 2
b) 1 / 3
c) 1 / 4
d) 1 / 5
e) 1 / 6

Passo 1

Estamos escolhendo uniformemente um divisor positivo de 60 e queremos a probabilidade de que ele seja primo. Para isso vamos usar a teoria de números: fatorar 60, calcular o número total de divisores a partir da fatoração e depois contar quantos desses divisores são primos.

Passo 2

Fatoramos 60:
60 = 2^2 times 3^1 times 5^1
Pela fórmula do número de divisores, se
n = p1^alpha1times p2^alpha2timescdotstimes pk^alphak,
então o total de divisores de n é
(alpha1+1)(alpha2+1)cdots(alphak+1)
Aqui temos alpha1=2, alpha2=1, alpha3=1, logo o número total de divisores de 60 é
(2+1)times(1+1)times(1+1)=3times2times2 = 12

Passo 3

Agora identificamos quais desses divisores são primos. Os únicos fatores primos de 60 são 2, 3 e 5. Não há outro divisor de 60 que seja primo além destes três. Portanto, o número de divisores primos é
3

Passo 4

A probabilidade de escolhermos um divisor primo é a razão entre o número de divisores primos e o número total de divisores:
312 = 14

Resposta

c) tfrac14

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