58- (Fuvest-SP) Escolhido ao acaso um elemento do conjunto dos divisores positivos de 60, a probabilidade de que ele seja primo é:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Estamos escolhendo uniformemente um divisor positivo de
e queremos a probabilidade de que ele seja primo. Para isso vamos usar a teoria de números: fatorar
, calcular o número total de divisores a partir da fatoração e depois contar quantos desses divisores são primos.
Passo 2
Fatoramos
:
Pela fórmula do número de divisores, se
então o total de divisores de
é
Aqui temos
,
,
, logo o número total de divisores de
é
Passo 3
Agora identificamos quais desses divisores são primos. Os únicos fatores primos de
são
,
e
. Não há outro divisor de
que seja primo além destes três. Portanto, o número de divisores primos é
Passo 4
A probabilidade de escolhermos um divisor primo é a razão entre o número de divisores primos e o número total de divisores:
Resposta
c)