3.58 Sejam u1=(1,1,2), u2=(1,3,-2), u3=(4,-2,-1) de R^3. Mostre que u1, u2, u3 são ortogonais e escreva v como uma combinação linear de u1, u2, u3. (Sugestão: use coeficientes de Fourier.)
(c) v=(1,1,1)

Passo 1

O enunciado dá os vetores
,u1=(1,1,2), ,u2=(1,3,-2), ,u3=(4,-2,-1) em R^3 e pede para mostrar que eles são ortogonais (isto é, o produto interno par a par é zero) e depois escrever
,v=(1,1,1) como combinação linear desses ui, usando os chamados coeficientes de Fourier.
Para isso precisamos lembrar que em R^3 o produto interno é
lang<= x,yrang<= = x1y1+x2y2+x3y3,
que a ortogonalidade significa lang<= ui,ujrang<==0 para ineq j, e que em uma base ortogonal os coeficientes de Fourier são
ci=lang<= v,uirang<=lang<= ui,uirang<=,

Passo 2

Calculamos os produtos internos entre cada par de ui:
lang<= u1,u2rang<= =1cdot1 + 1cdot3 + 2cdot(-2) =1+3-4=0,
lang<= u1,u3rang<= =1cdot4 + 1cdot(-2) + 2cdot(-1) =4-2-2=0,
lang<= u2,u3rang<= =1cdot4 + 3cdot(-2) + (-2)cdot(-1) =4-6+2=0
Como todos são zero, concluímos que u1,u2,u3 são mutuamente ortogonais.

Passo 3

Agora precisamos das normas (ao quadrado) de cada ui:
lang<= u1,u1rang<= =1^2+1^2+2^2=6, lang<= u2,u2rang<= =1^2+3^2+(-2)^2=14, lang<= u3,u3rang<= =4^2+(-2)^2+(-1)^2=21

Passo 4

Em seguida, calculamos os coeficientes de Fourier
ci=lang<= v,uirang<=lang<= ui,uirang<=
Como ,v=(1,1,1), temos
lang<= v,u1rang<= =1cdot1+1cdot1+1cdot2=4, lang<= v,u2rang<= =1+3-2=2, lang<= v,u3rang<= =4-2-1=1
Logo
c1=46=23, c2=214=17, c3=121

Passo 5

Em base ortogonal, a decomposição é simplesmente
v = c1,u1 + c2,u2 + c3,u3
Substituindo os valores de ci, obtemos
v =23(1,1,2) +17(1,3,-2) +121(4,-2,-1)
Pode-se conferir que ao somar essas parcelas dá de fato (1,1,1).

Resposta

v = 23,u1 ;+;17,u2;+;121,u3

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