3.58 Sejam
de
. Mostre que
são ortogonais e escreva
como uma combinação linear de
. (Sugestão: use coeficientes de Fourier.)
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado dá os vetores
,
,
em
e pede para mostrar que eles são ortogonais (isto é, o produto interno par a par é zero) e depois escrever
como combinação linear desses
, usando os chamados coeficientes de Fourier.
Para isso precisamos lembrar que em o produto interno é
,
que a ortogonalidade significa para
, e que em uma base ortogonal os coeficientes de Fourier são
Para isso precisamos lembrar que em
que a ortogonalidade significa
Passo 2
Calculamos os produtos internos entre cada par de
:
Como todos são zero, concluímos que
são mutuamente ortogonais.
Passo 3
Agora precisamos das normas (ao quadrado) de cada
:
Passo 4
Em seguida, calculamos os coeficientes de Fourier
Como
, temos
Logo
Passo 5
Em base ortogonal, a decomposição é simplesmente
Substituindo os valores de
, obtemos
Pode-se conferir que ao somar essas parcelas dá de fato
.