Escreva as equações gerais dos planos a seguir:
Passa pelos pontos P0=(0,0,1), P1=(2,-1,3), P2=(-1,2,-2)

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano que passa por três pontos P0=(0,0,1), P1=(2,-1,3) e P2=(-1,2,-2). Para isso vamos precisar de um vetor normal ao plano, que obtemos fazendo o produto vetorial de dois vetores que estejam no próprio plano.

Passo 2

Escolhemos dois vetores no plano a partir de P0:
vec v = P0P1 = (2-0,,-1-0,,3-1) = (2,-1,2),
vec w = P0P2 = (-1-0,,2-0,,-2-1) = (-1,2,-3)

Passo 3

O vetor normal vec n=(A,B,C) é dado por vec n = vec v times vec w. Calculando o determinante:
vec n = i & j & k [6pt] 2 & -1 & 2 [2pt] -1 & 2 & -3 = l((-1)(-3) - 2cdot2,;-(2cdot(-3)-2cdot(-1)),;2cdot2 -(-1)cdot(-1)r) = (-1,,4,,3) ]

Passo 4

A equação geral do plano tem forma
A x + B y + C z + D = 0,
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-1,x + 4,y + 3,z + D = 0
Para determinar D substituímos as coordenadas de P0=(0,0,1):
-1cdot0 + 4cdot0 + 3cdot1 + D = 0 Longrightarrow D = -3

Resposta

-x + 4y + 3z - 3 = 0

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