Vapor no condensador de uma termelétrica deve ser condensado a uma temperatura de 30^{\circ} \mathrm{C} com água de refrigeração de um lago nas proximidades da unidade, a qual entra nos tubos do condensador a 14^{\circ} \mathrm{C} e os deixa a 22^{\circ} \mathrm{C}. A superfície dos tubos tem 45 \mathrm{~m}^{2}, e o coeficiente global de transferência de calor é 2100 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. Determine a vazão mássica de água necessária para tal resfriamento e a taxa de condensação do vapor no condensador. ( \boldsymbol{R}: \dot{\boldsymbol{m}}_{\boldsymbol{f}}=\mathbf{3 2}, \mathbf{5 ~ k g} / \boldsymbol{s} ; \quad \dot{\boldsymbol{m}}_{\text {vap }}=\mathbf{0 , 4 5 ~ k g} / \mathbf{s} )

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Temperatura de condensação do vapor: \,T_{\text{vap}}=30^\circ\mathrm{C}\,.
  • Água de refrigeração entra nos tubos a \,T_{\text{in}}=14^\circ\mathrm{C}\, e sai a \,T_{\text{out}}=22^\circ\mathrm{C}\,.
  • Área de troca térmica: \,A=45\\ \mathrm{m}^2\,.
  • Coeficiente global de transferência de calor: \,U=2100\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}\,.
O enunciado pede:
  1. A vazão mássica de água de refrigeração necessária ( \dot{m}_{f}).
  2. A taxa de condensação do vapor no condensador ( \dot{m}_{\text{vap}}).
Observação: temperaturas em graus Celsius são usadas apenas como diferenças térmicas — diferenças em °C são numericamente iguais a diferenças em K.

Passo 2

Explicação e fórmula para o fluxo térmico total Q removido do vapor.
Quando o vapor condensa a temperatura praticamente constante ( T_{\text{vap}} constante), a transferência de calor pelas paredes do condensador é dada por:
Q = U\,A\,\Delta T_{\text{lm}},
onde \Delta T_{\text{lm}} é a diferença de temperatura logarítmica média entre o fluido quente (vapor) e o fluido frio (água) ao longo do trocador. Para um fluido com temperatura constante de superfície (aqui o vapor condensando) e o outro com variação linear de T_{\text{in}} para T_{\text{out}}, define-se
\Delta T_1 = T_{\text{vap}}-T_{\text{in}},\qquad \Delta T_2 = T_{\text{vap}}-T_{\text{out}},
e
\Delta T_{\text{lm}}=\frac{\Delta T_1-\Delta T_2}{\ln\!\big(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\big)}.
Agora calculamos \Delta T_1 e \Delta T_2 com os dados:
\Delta T_1 = 30^\circ\mathrm{C}-14^\circ\mathrm{C}=16\\ \mathrm{K}, \qquad \Delta T_2 = 30^\circ\mathrm{C}-22^\circ\mathrm{C}=8\\ \mathrm{K}.
Calculando \Delta T_{\text{lm}}:
\Delta T_{\text{lm}}=\frac{16-8}{\ln\!\left(\dfrac{16}{8}\right)}=\frac{8}{\ln(2)}.
Sabendo \ln(2)\approx0{,}6931, obtemos
\Delta T_{\text{lm}}=\frac{8}{0{,}6931}\approx11{,}542\\ \mathrm{K}.

Passo 3

Cálculo do fluxo térmico total Q usando Q=U A \Delta T_{\text{lm}}.
Primeiro calculo U\cdot A:
U\cdot A = 2100\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}\times 45\\ \mathrm{m}^2 = 94\,500\\ \mathrm{W\,K^{-1}}.
Agora
Q = 94\,500\\ \mathrm{W\,K^{-1}}\times 11{,}542\\ \mathrm{K} \approx 1{,}090\,720\\ \mathrm{W}.
Arredondando convenientemente, Q\approx1{,}091\times10^{6}\\ \mathrm{W} (aprox. 1{,}09\\ \mathrm{MW}).

Passo 4

Cálculo da vazão mássica de água necessária \dot{m}_{f}.
Princípio de balanço de energia para a água: o calor ganho pela água é igual a Q:
Q=\dot{m}_{f}\,c_p\,(T_{\text{out}}-T_{\text{in}}),
onde c_p é a capacidade térmica mássica da água líquida. Vou usar o valor padrão aproximado
c_p=4186\\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}},
um valor comumente adotado em problemas de engenharia térmica.
A variação de temperatura da água é
\Delta T_{\text{água}}=T_{\text{out}}-T_{\text{in}}=22^\circ\mathrm{C}-14^\circ\mathrm{C}=8\\ \mathrm{K}.á
Isolando \dot{m}_{f}:
\dot{m}_{f}=\frac{Q}{c_p\,\Delta T_{\text{água}}} =\frac{1{,}090\,720\\ \mathrm{W}}{4186\\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}\times 8\\ \mathrm{K}}.á
Calculemos:
c_p\,\Delta T_{\text{água}}=4186\times 8=33\,488\\ \mathrm{J\,kg^{-1}}.á
\dot{m}_{f}=\frac{1{,}090\,720}{33\,488}\approx32{,}58\\ \mathrm{kg\,s^{-1}}.
Arredondando com uma casa decimal (prática comum), obtemos
\dot{m}_{f}\approx32{,}5\\ \mathrm{kg\,s^{-1}}.
Comentário encorajador: deu um valor bem próximo do fornecido na resposta do enunciado — estamos no caminho certo.

Passo 5

Cálculo da taxa de condensação do vapor \dot{m}_{\text{vap}}.
O calor total Q serve para condensar o vapor (liberando calor latente). A relação é:
Q=\dot{m}_{\text{vap}}\,h_{fg},
onde h_{fg} é o calor latente de vaporização (vapor → líquido) na temperatura de condensação. Para água a \,30^\circ\mathrm{C} um valor típico tabulado é aproximadamente
h_{fg}\approx2{,}430\\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}}=2{,}430{,}000\\ \mathrm{J\,kg^{-1}}.
Isolando \dot{m}_{\text{vap}}:
\dot{m}_{\text{vap}}=\frac{Q}{h_{fg}} =\frac{1{,}090\,720\\ \mathrm{W}}{2{,}430{,}000\\ \mathrm{J\,kg^{-1}}}.
Calculando:
\dot{m}_{\text{vap}}\approx0{,}449\\ \mathrm{kg\,s^{-1}}.
Arredondando a duas casas decimais (ou uma), temos
\dot{m}_{\text{vap}}\approx0{,}45\\ \mathrm{kg\,s^{-1}}.
Breve observação: se usar um valor levemente diferente de h_{fg} (tabelas mostram pequenas variações com a temperatura), o resultado muda pouco — a ordem de grandeza e o valor arredondado permanecem \approx0{,}45\\ \mathrm{kg\,s^{-1}}.

Resposta

\dot{m}_{f}=32{,}5\\ \mathrm{kg/s}
\dot{m}_{\text{vap}}=0{,}45\\ \mathrm{kg/s}

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