9-69 In Example 9-2, we provide expressions for u, v, and \rho for flow through a compressible converging duct. Generate an expression for the compressible stream function \psi_{\rho} that describes this flow field. For consistency, set \psi_{\rho}=0 along the x-axis.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
  • Pede-se gerar uma expressão para a função de corrente compressível \psi_{\rho} que descreve o campo de escoamento cujas componentes de velocidade são u(x,y) e v(x,y) e cuja densidade é \rho(x,y) (essas três quantidades são as dadas no Exemplo 9-2).
  • Deve-se usar a condição de consistência \psi_{\rho}=0 ao longo do eixo x (ou seja, em y=0).
  • Informação relevante que temos (implícita no enunciado): o escoamento satisfaz a equação de continuidade para fluxo compressível bidimensional:
\frac{\partial}{\partial x}\big(\rho u\big)+\frac{\partial}{\partial y}\big(\rho v\big)=0.

Passo 2

Definição do que é a função de corrente de massa (compressível) e por que ela existe.
  • Para um escoamento compressível bidimensional é conveniente definir uma função de corrente associada ao fluxo de massa (não ao fluxo volumétrico). Definimos \psi_{\rho}(x,y) por:
\rho u=\frac{\partial\psi_{\rho}}{\partial y}, \qquad \rho v=-\frac{\partial\psi_{\rho}}{\partial x}.
  • Intuição: essas igualdades garantem que as linhas de nível de \psi_{\rho} são curvas que acompanham o fluxo de massa; a derivada em y dá o fluxo de massa na direção x e a derivada em x (com sinal) dá o fluxo de massa na direção y.

Passo 3

Verificação de que a definição acima satisfaz a equação de continuidade (motivo matemático).
  • Diferenciando as duas expressões e somando obtemos:
\frac{\partial}{\partial x}\big(\rho u\big)+\frac{\partial}{\partial y}\big(\rho v\big) =\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial\psi_{\rho}}{\partial y}\right) +\frac{\partial}{\partial y}\!\left(-\frac{\partial\psi_{\rho}}{\partial x}\right) =\frac{\partial^2\psi_{\rho}}{\partial x\partial y}-\frac{\partial^2\psi_{\rho}}{\partial y\partial x}=0,
ou seja, a continuidade é automaticamente satisfeita (as misturas das derivadas mistas cancelam).

Passo 4

Construção prática de \psi_{\rho} a partir de \rho e u,v (integração) — método direto e passo a passo.
  • A partir de \rho u=\partial\psi_{\rho}/\partial y, integramos em y para obter \psi_{\rho} até uma função arbitrária de x:
\psi_{\rho}(x,y)=\int_{0}^{y}\rho(x,\eta)\,u(x,\eta)\,d\eta + C(x).
Aqui escolhemos a constante de integração dependente de x e colocamos o limite inferior 0 por conveniência (isso facilita impor \psi_{\rho}=0 em y=0).
  • Agora usamos a segunda relação \rho v=-\partial\psi_{\rho}/\partial x para determinar C(x). Diferenciando a expressão anterior em x:
\frac{\partial\psi_{\rho}}{\partial x}(x,y) =\int_{0}^{y}\frac{\partial}{\partial x}\big(\rho(x,\eta)u(x,\eta)\big)\,d\eta + C'(x).
Pela definição deve valer \partial\psi_{\rho}/\partial x= -\rho(x,y)\,v(x,y). Igualando:
-\rho(x,y)\,v(x,y) =\int_{0}^{y}\frac{\partial}{\partial x}\big(\rho u\big)(x,\eta)\,d\eta + C'(x).
  • Usando a equação de continuidade \partial_x(\rho u)=-\partial_y(\rho v) dentro da integral, temos
\int_{0}^{y}\frac{\partial}{\partial x}\big(\rho u\big)(x,\eta)\,d\eta =-\int_{0}^{y}\frac{\partial}{\partial \eta}\big(\rho v\big)(x,\eta)\,d\eta = -\big[\rho v(x,y)-\rho v(x,0)\big].
Substituindo na igualdade anterior:
-\rho(x,y)\,v(x,y)= -\big[\rho v(x,y)-\rho v(x,0)\big] + C'(x).
Isso simplifica para
C'(x)=-\rho(x,0)\,v(x,0).
  • Agora aplicamos a condição pedida \psi_{\rho}(x,0)=0. Com a expressão inicial temos \psi_{\rho}(x,0)=C(x). Portanto \psi_{\rho}(x,0)=0 implica C(x)=0 para todo x. Consistência: C(x)=0 e C'(x)=-\rho(x,0)v(x,0) só podem ser ambas verdadeiras se \rho(x,0)v(x,0)=0. Em escoamentos com eixo de simetria (ducto convergente) é físico tomar v(x,0)=0 (sem velocidade normal na linha central), então C'(x)=0 e C(x)=0 é compatível.
  • Conclusão prática (condição \psi_{\rho}=0 em y=0 e v(x,0)=0): a expressão mais simples e direta para \psi_{\rho} é
\boxed{\displaystyle \psi_{\rho}(x,y)=\int_{0}^{y}\rho(x,\eta)\,u(x,\eta)\,d\eta.}
Esta fórmula dá \psi_{\rho}=0 em y=0 e satisfaz ambas as relações \rho u=\partial\psi_{\rho}/\partial y e \rho v=-\partial\psi_{\rho}/\partial x graças à continuidade.

Passo 5

Forma alternativa equivalente (integração em x) e relação entre as duas formas.
  • Alternativamente, a partir de \rho v=-\partial\psi_{\rho}/\partial x podemos integrar em x obtendo (escolhendo referência x_0)
\psi_{\rho}(x,y)=-\int_{x_0}^{x}\rho(\xi,y)\,v(\xi,y)\,d\xi + D(y).
A função D(y) é análoga a C(x) e é determinada impondo \psi_{\rho}=0 em y=0 (ou pela compatibilidade com a expressão obtida por integração em y). As duas expressões são equivalentes porque a continuidade garante que a integral de \rho u em y difere da integral de -\rho v em x apenas por uma constante apropriada.
  • Em particular, escolhendo a linha y=0 como referência e supondo v(x,0)=0, a escolha simples D(y)=0 ao longo de y=0 leva de novo à expressão do Passo 4.

Passo 6

Exemplo rápido e lembrete prático para a prova (como aplicar no Exemplo 9-2).
  • Na prova: pegue as funções \rho(x,y) e u(x,y) que o enunciado (ou o Exemplo 9-2) fornece e calcule
\psi_{\rho}(x,y)=\int_{0}^{y}\rho(x,\eta)\,u(x,\eta)\,d\eta.
  • Se for mais fácil integrar em x usando v, use a forma alternativa e ajuste a constante para que \psi_{\rho}=0 em y=0.
  • Verifique sempre que v(x,0)=0 (linha central sem penetração). Se v(x,0)\neq 0 então é necessário usar C(x)=-\int \rho(x,0)v(x,0)\,dx e então impor \psi_{\rho}(x,0)=0 para fixar a constante de integração numérica.

Resposta

\displaystyle \psi_{\rho}(x,y)=\int_{0}^{y}\rho(x,\eta)\,u(x,\eta)\,d\eta

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