9-69 In Example 9-2, we provide expressions for
, and
for flow through a compressible converging duct. Generate an expression for the compressible stream function
that describes this flow field. For consistency, set
along the
-axis.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
- Pede-se gerar uma expressão para a função de corrente compressível
que descreve o campo de escoamento cujas componentes de velocidade são e e cuja densidade é (essas três quantidades são as dadas no Exemplo 9-2). - Deve-se usar a condição de consistência
ao longo do eixo (ou seja, em ). - Informação relevante que temos (implícita no enunciado): o escoamento satisfaz a equação de continuidade para fluxo compressível bidimensional:
Passo 2
Definição do que é a função de corrente de massa (compressível) e por que ela existe.
- Para um escoamento compressível bidimensional é conveniente definir uma função de corrente associada ao fluxo de massa (não ao fluxo volumétrico). Definimos
por:
- Intuição: essas igualdades garantem que as linhas de nível de
são curvas que acompanham o fluxo de massa; a derivada em dá o fluxo de massa na direção e a derivada em (com sinal) dá o fluxo de massa na direção .
Passo 3
Verificação de que a definição acima satisfaz a equação de continuidade (motivo matemático).
- Diferenciando as duas expressões e somando obtemos:
ou seja, a continuidade é automaticamente satisfeita (as misturas das derivadas mistas cancelam).
Passo 4
Construção prática de
a partir de
e
(integração) — método direto e passo a passo.
- A partir de
, integramos em para obter até uma função arbitrária de :
Aqui escolhemos a constante de integração dependente de
e colocamos o limite inferior
por conveniência (isso facilita impor
em
).
- Agora usamos a segunda relação
para determinar . Diferenciando a expressão anterior em :
Pela definição deve valer
. Igualando:
- Usando a equação de continuidade
dentro da integral, temos
Substituindo na igualdade anterior:
Isso simplifica para
- Agora aplicamos a condição pedida
. Com a expressão inicial temos . Portanto implica para todo . Consistência: e só podem ser ambas verdadeiras se . Em escoamentos com eixo de simetria (ducto convergente) é físico tomar (sem velocidade normal na linha central), então e é compatível. - Conclusão prática (condição
em e ): a expressão mais simples e direta para é
Esta fórmula dá
em
e satisfaz ambas as relações
e
graças à continuidade.
Passo 5
Forma alternativa equivalente (integração em
) e relação entre as duas formas.
- Alternativamente, a partir de
podemos integrar em obtendo (escolhendo referência )
A função
é análoga a
e é determinada impondo
em
(ou pela compatibilidade com a expressão obtida por integração em
). As duas expressões são equivalentes porque a continuidade garante que a integral de
em
difere da integral de
em
apenas por uma constante apropriada.
- Em particular, escolhendo a linha
como referência e supondo , a escolha simples ao longo de leva de novo à expressão do Passo 4.
Passo 6
Exemplo rápido e lembrete prático para a prova (como aplicar no Exemplo 9-2).
- Na prova: pegue as funções
e que o enunciado (ou o Exemplo 9-2) fornece e calcule
- Se for mais fácil integrar em
usando , use a forma alternativa e ajuste a constante para que em . - Verifique sempre que
(linha central sem penetração). Se então é necessário usar e então impor para fixar a constante de integração numérica.