Encontre todas as matrizes triangulares reais A tais que A^2=B, com
B=[ll4 & 21 0 & 25]

Passo 1

O enunciado pede todas as matrizes triangulares reais Ain M2( R) tais que
A^2=B, B=4 & 210 & 25
Como B é triangular superior, vamos buscar A da forma
A=a & b0 & c,
com a,b,cin R.

Passo 2

Ao quadrarmos A, usando produto de matrizes triangulares, obtemos
A^2 =a & b0 & c^2 =a^2 & ab+bc0 & c^2

Passo 3

Igualando as entradas diagonais de A^2 e B, vem
a^2 = 4, c^2 = 25
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ain2,,-2, cin5,,-5

Passo 4

Agora igualamos a única entrada fora da diagonal principal:
ab + bc = b,(a + c) = 21
Desde que a+cneq0, isso dá
b = 21a+c

Passo 5

Para cada escolha de (a,c) em 2,-2times5,-5 verificamos a+cneq0 e calculamos b:
  • Se (a,c)=(2,5), então a+c=7 e b=21/7=3.
  • Se (a,c)=(2,-5), então a+c=-3 e b=21/(-3)=-7.
  • Se (a,c)=(-2,5), então a+c=3 e b=21/3=7.
  • Se (a,c)=(-2,-5), então a+c=-7 e b=21/(-7)=-3.

Resposta

As quatro soluções são
2 & 30 & 5, 2 & -70 & -5, -2 & 70 & 5, -2 & -30 & -5

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