5á Questão:(2.0) Considere a quádrica S: x^2+y^2-z-4 x-6 y+13=0 e o plano pi: z=4.
a) Encontre a equação reduzida da quádrica S e identifique-a.
b) Determine a interseção de S com pi.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma équation de uma superfície quadrática S: x^2 + y^2 - z - 4x - 6y +13 = 0 e um plano pi: z = 4 . A parte (a) quer que a gente simplifique a équation da superfície quadrática e descubra que tipo de superfície é essa. A parte (b) quer saber como essa superfície e o plano se intersectam. Para resolver isso, vamos precisar usar completamento de quadrado e conhecimentos sobre geometria analítica das superfícies.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a). Primeiro, vamos reorganizar a équation da superfície quadrática para facilitar o completamento do quadrado nos termos de x e y .
A équation original é:
x^2 + y^2 - z - 4x - 6y +13 = 0
Vamos isolar z :
z = x^2 + y^2 - 4x - 6y +13

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de x e y .
Para o x :
x^2 - 4x
Adicionamos e subtraímos (4/2)^2 = 4 :
x^2 - 4x + 4 - 4 = (x - 2)^2 - 4
Para o y :
y^2 - 6y
Adicionamos e subtraímos (6/2)^2 = 9 :
y^2 - 6y + 9 - 9 = (y - 3)^2 - 9

Passo 4

Substituímos de volta na équation de z :
z = (x - 2)^2 - 4 + (y - 3)^2 - 9 +13
Simplificando:
z = (x - 2)^2 + (y - 3)^2

Passo 5

Agora, identificamos o tipo de superfície. A équation z = (x - 2)^2 + (y - 3)^2 representa um paraboloide elíptico, que é uma superfície parabólica que abre para cima.

Passo 6

Vamos para a parte (b). Queremos determinar a interseção da superfície S com o plano pi: z = 4 .
Sabemos que z = 4 , então substituímos na équation reduzida da superfície:
4 = (x - 2)^2 + (y - 3)^2

Passo 7

Essa équation representa um círculo no plano z = 4 com centro em (2, 3, 4) e raio 2 , já que 4 = 2^2 .

Resposta

a) A équation reduzida da superfície S é z = (x - 2)^2 + (y - 3)^2 e ela é um paraboloide elíptico.
b) A interseção de S com o plano pi é um círculo de raio 2, centrado no ponto (2, 3, 4) .

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