5á Questão:(2.0) Considere a quádrica
e o plano
.
a) Encontre a equação reduzida da quádrica
e identifique-a.
b) Determine a interseção de
.
a) Encontre a equação reduzida da quádrica
b) Determine a interseção de
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma équation de uma superfície quadrática
e um plano
. A parte (a) quer que a gente simplifique a équation da superfície quadrática e descubra que tipo de superfície é essa. A parte (b) quer saber como essa superfície e o plano se intersectam. Para resolver isso, vamos precisar usar completamento de quadrado e conhecimentos sobre geometria analítica das superfícies.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a). Primeiro, vamos reorganizar a équation da superfície quadrática para facilitar o completamento do quadrado nos termos de
e
.
A équation original é:
Vamos isolar
:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
e
.
Para o
:
Adicionamos e subtraímos
:
Para o
:
Adicionamos e subtraímos
:
Passo 4
Substituímos de volta na équation de
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, identificamos o tipo de superfície. A équation
representa um paraboloide elíptico, que é uma superfície parabólica que abre para cima.
Passo 6
Vamos para a parte (b). Queremos determinar a interseção da superfície
com o plano
.
Sabemos que
, então substituímos na équation reduzida da superfície:
Passo 7
Essa équation representa um círculo no plano
com centro em
e raio
, já que
.
Resposta
a) A équation reduzida da superfície
é
e ela é um paraboloide elíptico.
b) A interseção de
com o plano
é um círculo de raio 2, centrado no ponto
.