5a Questão Dadas as funções f(x)=x^2-2 x e g(x)=1+raiz1+x, pede-se:
a) encontre a função g(f(x)), simplificando ao máximo a expressão final.
b) g é função inversa de f ?

Passo 1

Resumo do problema: Temos as funções f(x)=x^2-2x e g(x)=1+raiz1+x. Precisamos achar a composição g(f(x)) e verificar se g é a inversa de f.

Passo 2

Substituir f(x) em g:
g(f(x))=1+raiz1+f(x)
Como f(x)=x^2-2x, temos
1+f(x)=1+(x^2-2x)=x^2-2x+1
Logo,
g(f(x))=1+raizx^2-2x+1

Passo 3

Simplificar a raiz quadrada:
raizx^2-2x+1=raiz(x-1)^2=|x-1|
Portanto,
g(f(x))=1+|x-1|

Passo 4

Condição de inversa: Para g=f^-1 precisaríamos de
g(f(x))=x para todo x no domínio de f.
Mas
g(f(x))=1+|x-1|= x,&x>=1, 2-x,&x<1,
logo não é igual a x quando x<1. Além disso, f não é injetora (é simétrica em torno de x=1).

Passo 5

Conclusão: a composição não é a identidade em todo o domínio de f, então g não é a inversa de f.

Resposta

g(f(x))=1+|x-1| e não, g não é inversa de f.

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