Dada a função f(x) encontre seus conjuntos domínio e imagem. Em seguida, fatore as funções, se possível.
f(x)=x^3-x^2-x-15

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^3-x^2-x-15
e pede (1) domínio e imagem de f e (2) fatoração de f(x), se possível. Vamos usar o fato de que polinômios têm domínio todo R, que um polinômio de grau ímpar com coeficiente líder positivo atinge toda R, e o Teorema das raízes racionais para fatorar.

Passo 2

Como f é um polinômio (sem divisão por x em lugar nenhum), seu domínio é
Dom(f)=R

Passo 3

Um polinômio de grau ímpar com coeficiente líder positivo tende a +infty quando xto+infty e a -infty quando xto-infty. Logo sua imagem é
Im(f)=R

Passo 4

Para fatorar, aplicamos o Teorema das raízes racionais. Os divisores de -15 são
pm1,pm3,pm5,pm15. Testamos x=3:
f(3)=3^3-3^2-3-15=27-9-3-15=0,
logo x=3 é raiz e (x-3) é fator.

Passo 5

Fazendo divisão sintética de f(x) por (x-3), obtemos o quociente x^2+2x+5. Assim
f(x)=(x-3)l(x^2+2x+5r)
Como o discriminante de x^2+2x+5 é De<a=2^2-4cdot1cdot5=-16<0, esse termo é irredutível sobre R.

Resposta

Domínio: R
Imagem: R
Fatoração: f(x)=(x-3)(x^2+2x+5)

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