5a Questão: (a) Encontre a série de Maclaurin da função
(b) Usando séries, calcule o limite
(b) Usando séries, calcule o limite
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) a série de Maclaurin de
e (b) o cálculo do limite
Para isso vamos usar que
e conhecer as séries de Maclaurin de
e
.
Passo 2
Recordando as séries conhecidas:
Vamos dividir a série de
pela de
.
Passo 3
Suponha que
Então
Expandindo e igualando coeficientes:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: , logo . - Coeficiente de
: , daí .
Passo 4
Com esses coeficientes, a série de Maclaurin de
até a ordem
fica
Passo 5
Para o limite
substituímos a expansão:
Logo
e quando
o limite vale
.
Resposta
(a)
(b)
(b)