5a Questão: (a) Encontre a série de Maclaurin da função f(x)=\tan x
(b) Usando séries, calcule o limite
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-x}{x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) a série de Maclaurin de f(x)=\tan x e (b) o cálculo do limite
\lim_{x\to0}\frac{\tan x - x}{x^3}.
Para isso vamos usar que \tan x=\frac{\sin x}{\cos x} e conhecer as séries de Maclaurin de \sin x e \cos x.

Passo 2

Recordando as séries conhecidas:
\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \frac{x^7}{5040} + \cdots,
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} + \cdots.
Vamos dividir a série de \sin x pela de \cos x.

Passo 3

Suponha que
\tan x = a_1x + a_3x^3 + a_5x^5 + O(x^7).
Então
\bigl(a_1x + a_3x^3 + a_5x^5 + \cdots\bigr)\,\bigl(1 - \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{x^4}{24} + \cdots\bigr) = x - \tfrac{x^3}{6} + \tfrac{x^5}{120} + \cdots.
Expandindo e igualando coeficientes:
  • Coeficiente de x: a_1 = 1.
  • Coeficiente de x^3: a_3 - \tfrac{a_1}{2} = -\tfrac{1}{6}, logo a_3 = \tfrac{1}{3}.
  • Coeficiente de x^5: a_5 - \tfrac{a_3}{2} + \tfrac{a_1}{24} = \tfrac{1}{120}, daí a_5 = \tfrac{2}{15}.

Passo 4

Com esses coeficientes, a série de Maclaurin de \tan x até a ordem x^5 fica
\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + O(x^7).

Passo 5

Para o limite
\lim_{x\to0}\frac{\tan x - x}{x^3},
substituímos a expansão:
\tan x - x = \Bigl(x + \tfrac{x^3}{3} + O(x^5)\Bigr) - x = \frac{x^3}{3} + O(x^5).
Logo
\frac{\tan x - x}{x^3} = \frac{1}{3} + O(x^2),
e quando x\to0 o limite vale \tfrac{1}{3}.

Resposta

(a) \displaystyle \tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + O(x^7).
(b) \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\tan x - x}{x^3} = \frac{1}{3}.

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