4 { }^{\text {a }} Questão: (a) Encontre a série de Maclaurin da função f(x)=\cos x
(b) Usando séries, calcule a seguinte integral definida:
\int_{0}^{x} \frac{1-\cos t}{t^{2}} d t

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) encontrar a série de Maclaurin de \cos x e (b) usar séries para calcular
\int_{0}^{x}\frac{1-\cos t}{t^{2}}\,dt.
Para isso vamos lembrar a definição de série de Maclaurin e depois desenvolver termo a termo o integrando.

Passo 2

Para a série de Maclaurin de f(x)=\cos x usamos a fórmula
\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^n.
Como \cos x tem derivadas cíclicas:
f(0)=1,\;f'(0)=0,\;f''(0)=-1,\;f'''(0)=0,\;f^{(4)}(0)=1,\dots
vemos que só aparecem potências pares e alternância de sinal. Logo em forma fechada:
\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{x^{2n}}{(2n)!}.

Passo 3

Agora montamos a expansão de 1-\cos t. Subtraindo de 1 a série acima:
1-\cos t =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{t^{2n}}{(2n)!},
mas reindexando para partir de n=1 ou simplesmente escrevendo o primeiro termo, obtemos também
1-\cos t =\frac{t^{2}}{2!}-\frac{t^{4}}{4!}+\frac{t^{6}}{6!}-\cdots.
Dividindo tudo por t^2:
\frac{1-\cos t}{t^{2}} =\frac{1}{2!}-\frac{t^{2}}{4!}+\frac{t^{4}}{6!}-\cdots =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{t^{2n}}{(2n+2)!}.

Passo 4

Integramos termo a termo de 0 a x:
\int_{0}^{x}\frac{1-\cos t}{t^{2}}\,dt =\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{t^{2n}}{(2n+2)!}\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{(2n+2)!}\int_{0}^{x}t^{2n}\,dt.
Calculando \displaystyle\int_{0}^{x}t^{2n}dt=\frac{x^{2n+1}}{2n+1}, fica
\int_{0}^{x}\frac{1-\cos t}{t^{2}}\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)\,(2n+2)!}.

Resposta

(a) \displaystyle\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}.
(b) \displaystyle\int_{0}^{x}\frac{1-\cos t}{t^{2}}\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)\,(2n+2)!}.

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