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Questão: (a) Encontre a série de Maclaurin da função
(b) Usando séries, calcule a seguinte integral definida:
(b) Usando séries, calcule a seguinte integral definida:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) encontrar a série de Maclaurin de
e (b) usar séries para calcular
Para isso vamos lembrar a definição de série de Maclaurin e depois desenvolver termo a termo o integrando.
Passo 2
Para a série de Maclaurin de
usamos a fórmula
Como
tem derivadas cíclicas:
vemos que só aparecem potências pares e alternância de sinal. Logo em forma fechada:
Passo 3
Agora montamos a expansão de
. Subtraindo de 1 a série acima:
mas reindexando para partir de
ou simplesmente escrevendo o primeiro termo, obtemos também
Dividindo tudo por
:
Passo 4
Integramos termo a termo de
a
:
Calculando
, fica
Resposta
(a)
(b)
(b)