Determine se a integral converge ou diverge; se convergir, encontre seu valor.
\int_{2}^{\infty} \frac{1}{(x-1)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a integral imprópria
\int_{2}^{\infty} \frac{1}{(x-1)^{2}}\,dx
e verificar se ela converge. Se for convergente, precisamos também calcular o seu valor. O conteúdo aqui envolve o estudo de integrais com limite de integração infinito e o uso de antiderivadas de potências.

Passo 2

Como (x-1)^{2}\neq0 para todo x\ge2, não há singularidade no integrando em [2,\infty); a impropriedade vem apenas do limite superior infinito. Assim, definimos
\int_{2}^{\infty} \frac{1}{(x-1)^{2}}\,dx = \lim_{b\to\infty} \int_{2}^{b} \frac{1}{(x-1)^{2}}\,dx.

Passo 3

Para encontrar a antiderivada, lembramos que
\frac{d}{dx}\!\bigl[(x-1)^{-1}\bigr] = -1\cdot (x-1)^{-2},
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\int (x-1)^{-2}\,dx = -\frac{1}{x-1} + C.
Portanto,
\int_{2}^{b} \frac{1}{(x-1)^{2}}\,dx = \left[-\frac{1}{x-1}\right]_{2}^{b}.

Passo 4

Avaliamos o limite quando b\to\infty:
\lim_{b\to\infty}\Bigl(-\tfrac{1}{b-1} + \tfrac{1}{2-1}\Bigr) = 0 + 1 = 1.
O resultado é finito, portanto a integral converge e seu valor é 1.

Resposta

A integral converge e vale 1.

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