Determine se a integral converge ou diverge; se convergir, encontre seu valor.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a integral imprópria
e verificar se ela converge. Se for convergente, precisamos também calcular o seu valor. O conteúdo aqui envolve o estudo de integrais com limite de integração infinito e o uso de antiderivadas de potências.
Passo 2
Como
para todo
, não há singularidade no integrando em
; a impropriedade vem apenas do limite superior infinito. Assim, definimos
Passo 3
Para encontrar a antiderivada, lembramos que
logo
Portanto,
Passo 4
Avaliamos o limite quando
:
O resultado é finito, portanto a integral converge e seu valor é
.
Resposta
A integral converge e vale
.