Determine se a integral converge ou diverge; se convergir, encontre seu valor.
\int_{-\infty}^{0} \frac{1}{x+2} d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria
\int_{-\infty}^{0}\frac{1}{x+2}\,dx
e, caso ela converja, calcular o seu valor. Aqui temos dois pontos de impropriedade: o limite inferior é -\infty (tipo I) e o integrando tem descontinuidade em x=-2 (tipo II).

Passo 2

Para tratar a descontinuidade em x=-2, dividimos a integral em duas:
\int_{-\infty}^{0}\frac{1}{x+2}\,dx = \int_{-\infty}^{-2}\frac{1}{x+2}\,dx + \int_{-2}^{0}\frac{1}{x+2}\,dx.
Cada uma será avaliada como limite apropriado.

Passo 3

O antiderivado de \frac{1}{x+2} é
\int\frac{1}{x+2}\,dx = \ln\bigl|x+2\bigr| + C.
Logo, para quaisquer a<b no domínio,
\int_{a}^{b}\frac{1}{x+2}\,dx =\ln\bigl|b+2\bigr|-\ln\bigl|a+2\bigr|.

Passo 4

Estudando a parte \displaystyle\int_{-2}^{0}\frac{1}{x+2}\,dx, definimos
\int_{-2}^{0}\frac{1}{x+2}\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{-2+\varepsilon}^{0}\frac{1}{x+2}\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}\Bigl[\ln|x+2|\Bigr]_{x=-2+\varepsilon}^{0}.
Isso dá
\lim_{\varepsilon\to0^+}\bigl(\ln|2|-\ln|\varepsilon|\bigr) =\ln2 - (-\infty)=+\infty.
Como diverge para +\infty, já não há convergência.

Resposta

A integral diverge; não converge a nenhum valor finito.

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