5a Questão:
a) (1,5). Mostre que o sistema de equações lx+y^3-z^4=2 z^2+x z+x y=5,
Define y e z como funç̃̃es de x, numa vizinhança do ponto (x, y, z)=(2,1,1);
b) (1,0). Calcule d yd x(2) e d yd x(2).

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de duas equações implicitas
e pede para mostrar que em torno de as variáveis e podem ser vistas como funções de . Vamos usar o Teorema da Função Implícita, que exige checar a não-singularidade do Jacobiano das equações em relação a .

Passo 2

Definimos a matriz jacobiana parcial em relação a (y,z):
J(y,z)F(x,y,z) = partial F1partial y & partial F1partial z partial F2partial y & partial F2partial z = 3y^2 & -4z^3 x & 2z + x
Avaliando em (2,1,1) temos
J(y,z)F(2,1,1) = 3cdot1^2 & -4cdot1^3 2 & 2cdot1+2 = 3 & -4 2 & 4 ,
cujo determinante é
det 3 & -4 2 & 4 =3cdot4-(-4)cdot2=12+8=20neq0
Como o determinante é não-nulo, pelo Teorema da Função Implícita existem funções y(x) e z(x) em torno de x=2.

Passo 3

Para encontrar as derivadas y'(x) e z'(x) diferenciamos ambas as equações em relação a x, lembrando que y=y(x) e z=z(x):
dE F1=0:
ddxl(x + y^3 - z^4 -2r) =1 + 3y^2,y' -4z^3,z' =0
dE F2=0:
ddxl(z^2 + xz + xy -5r) =2z,z' + l(z + x,z'r) + l(y + x,y'r)=0,
que se organiza como
2z,z' + x,z' + x,y' + (z + y) =0 Longrightarrow x,y' + (2z + x),z' = -,(z + y)

Passo 4

Substituímos
Resolvendo:
somando as equações vem . Substituindo em
,
isto é e .

Resposta

dydx(2)=-35, dzdx(2)=-15

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