5a Questão:
a) (1,5). Mostre que o sistema de equações
Define e como funç̃̃es de , numa vizinhança do ponto ;
b) (1,0). Calcule e .
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema de duas equações implicitas
e pede para mostrar que em torno de as variáveis e podem ser vistas como funções de . Vamos usar o Teorema da Função Implícita, que exige checar a não-singularidade do Jacobiano das equações em relação a .
Passo 2
Definimos a matriz jacobiana parcial em relação a :
Avaliando em temos
cujo determinante é
det 3 & -4 2 & 4 =3cdot4-(-4)cdot2=12+8=20neq0
Como o determinante é não-nulo, pelo Teorema da Função Implícita existem funções y(x) e z(x) em torno de x=2.
Passo 3
Para encontrar as derivadas y'(x) e z'(x) diferenciamos ambas as equações em relação a x, lembrando que y=y(x) e z=z(x):
dE F1=0: