Se a1b1, a2b2, a3b3, cdots, anbn pertencem ao intervalo (alpha, beta) e b1, b2, b3, cdots, bn são positivos, prove que:
(a) a1+a2+a3+cdots+anb1+b2+b3+cdots+bn in(alpha, beta).
(b) Nas mesmas condições, se t1, t2, t3, cdots, tn in R+, mostre que:
t1 a1+t2 a2+t3 a3+cdots+tn ant1 b1+t2 b2+t3 b3+cdots+tn bn in(alpha, beta)

Passo 1

O enunciado diz que temos frações aibiin(alpha,beta) para i=1,dots,n com todos bi>0. Queremos mostrar que
(a) a1+cdots+anb1+cdots+bnin(alpha,beta),
(b) para quaisquer pesos ti>0, t1a1+cdots+tnant1b1+cdots+tnbnin(alpha,beta).
O conteúdo principal é usar propriedades de desigualdades e somar desigualdades semelhantes.

Passo 2

Como aibiin(alpha,beta) e bi>0, multiplicando por bi temos para cada i:
ai > alpha,bi e ai < beta,bi

Passo 3

Somando as primeiras desigualdades para i=1 a n
sumi=1^n ai > alpha sumi=1^n bi,
e somando as segundas:
sumi=1^n ai < beta sumi=1^n bi

Passo 4

Dividindo as duas desigualdades pelo positivo sumi=1^n bi segue
alpha < sumi=1^n aisumi=1^n bi < beta,
o que prova o item (a).

Passo 5

Para o item (b), multiplique as desigualdades ai>alpha bi e ai<beta bi por ti>0 e some em i=1,dots,n. Obtemos
sumi=1^n ti ai > alpha sumi=1^n ti bi e sumi=1^n ti ai < beta sumi=1^n ti bi
Dividindo por sumi=1^n ti bi>0 conclui-se
alpha < sumi=1^n ti aisumi=1^n ti bi < beta,
o que prova o item (b).

Resposta

(a) a1+cdots+anb1+cdots+bnin(alpha,beta).
(b) t1a1+cdots+tnant1b1+cdots+tnbnin(alpha,beta).

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