Se
pertencem ao intervalo
e
são positivos, prove que:
(a)
.
(b) Nas mesmas condições, se
, mostre que:
(a)
(b) Nas mesmas condições, se
Passo 1
O enunciado diz que temos frações
para
com todos
. Queremos mostrar que
(a) ,
(b) para quaisquer pesos ,
.
O conteúdo principal é usar propriedades de desigualdades e somar desigualdades semelhantes.
(a)
(b) para quaisquer pesos
O conteúdo principal é usar propriedades de desigualdades e somar desigualdades semelhantes.
Passo 2
Como
e
, multiplicando por
temos para cada
:
Passo 3
Somando as primeiras desigualdades para
a
dá
e somando as segundas:
Passo 4
Dividindo as duas desigualdades pelo positivo
segue
o que prova o item (a).
Passo 5
Para o item (b), multiplique as desigualdades
e
por
e some em
. Obtemos
Dividindo por
conclui-se
o que prova o item (b).
Resposta
(a)
.
(b) .
(b)