Diga se converge, absolutamente, condicionalmente ou diverge a serie
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar se a série
converge, converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge. A matéria envolvida aqui é séries e os principais conceitos que vamos usar são os testes de convergência, como o teste da série alternada e o teste da convergência absoluta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa cada tipo de convergência:
Convergência absoluta: Se a série dos valores absolutos converge.
Convergência condicional: Se a série original converge, mas a série dos valores absolutos não.
Divergência: Se a série não converge de jeito nenhum.
Passo 3
Vamos começar analisando a convergência absoluta. Para isso, olhamos para a série dos valores absolutos:
Passo 4
Sabemos que para valores pequenos de x, tan(x) approx x. Aqui, à medida que n cresce, 1raiz[3]n fica bem pequeno. Então podemos aproximar:
tan(1raiz[3]n) approx 1raiz[3]n
Passo 5
Agora, com essa aproximação, a série dos valores absolutos se parece com:
sumn=2^infty 1n^1/3
Essa é uma série p, onde p = 13.
Passo 6
Sabemos que a série p converge se p > 1 e diverge se p <= 1. Aqui, p = 13 < 1, então:
sumn=2^infty 1n^1/3 diver>=
Portanto, a série dos valores absolutos não converge.
Passo 7
Como a série dos valores absolutos diverge, não temos convergência absoluta. Agora, vamos verificar se a série original converge condicionalmente usando o Teste da Série Alternada.
Passo 8
O Teste da Série Alternada diz que se os termos bn = tan(1raiz[3]n) satisfazem:
bn > 0
bn é decrescente
limn to infty bn = 0
Então, a série sum (-1)^n bn converge.
Passo 9
Vamos verificar essas condições:
Positividade: tan(1raiz[3]n) > 0 para n >= 2.
Decrescente: Conforme n aumenta, 1raiz[3]n diminui, então tan(1raiz[3]n) também diminui.
Limite:
limn to infty tan(1raiz[3]n) = tan(0) = 0
Passo 10
Todas as condições do Teste da Série Alternada são atendidas. Portanto, a série original