Diga se converge, absolutamente, condicionalmente ou diverge a serie
sumn=2^infty(-1)^n tg(1raiz[3]n)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar se a série
sumn=2^infty (-1)^n tan(1raiz[3]n)
converge, converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge. A matéria envolvida aqui é séries e os principais conceitos que vamos usar são os testes de convergência, como o teste da série alternada e o teste da convergência absoluta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa cada tipo de convergência:
  • Convergência absoluta: Se a série dos valores absolutos converge.
  • Convergência condicional: Se a série original converge, mas a série dos valores absolutos não.
  • Divergência: Se a série não converge de jeito nenhum.

Passo 3

Vamos começar analisando a convergência absoluta. Para isso, olhamos para a série dos valores absolutos:
sumn=2^infty | (-1)^n tan(1raiz[3]n) | = sumn=2^infty tan(1raiz[3]n)

Passo 4

Sabemos que para valores pequenos de x, tan(x) approx x. Aqui, à medida que n cresce, 1raiz[3]n fica bem pequeno. Então podemos aproximar:
tan(1raiz[3]n) approx 1raiz[3]n

Passo 5

Agora, com essa aproximação, a série dos valores absolutos se parece com:
sumn=2^infty 1n^1/3
Essa é uma série p, onde p = 13.

Passo 6

Sabemos que a série p converge se p > 1 e diverge se p <= 1. Aqui, p = 13 < 1, então:
sumn=2^infty 1n^1/3 diver>=
Portanto, a série dos valores absolutos não converge.

Passo 7

Como a série dos valores absolutos diverge, não temos convergência absoluta. Agora, vamos verificar se a série original converge condicionalmente usando o Teste da Série Alternada.

Passo 8

O Teste da Série Alternada diz que se os termos bn = tan(1raiz[3]n) satisfazem:
  1. bn > 0
  2. bn é decrescente
  3. limn to infty bn = 0
Então, a série sum (-1)^n bn converge.

Passo 9

Vamos verificar essas condições:
  1. Positividade: tan(1raiz[3]n) > 0 para n >= 2.
  2. Decrescente: Conforme n aumenta, 1raiz[3]n diminui, então tan(1raiz[3]n) também diminui.
  3. Limite:
limn to infty tan(1raiz[3]n) = tan(0) = 0

Passo 10

Todas as condições do Teste da Série Alternada são atendidas. Portanto, a série original
sumn=2^infty (-1)^n tan(1raiz[3]n)
converge condicionalmente.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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