(1,2) Indique para quais valores de x a serie sumn=3^infty x^n(x+1) converge, e para os casos que converge, calcule o valor da soma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir para quais valores de x a série sumn=3^infty x^n(x+1) converge. Além disso, para os casos em que a série converge, precisamos calcular o valor da soma. Vamos precisar usar conhecimentos de séries infinitas e critérios de convergência, como o teste da razão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a série que estamos lidando: sumn=3^infty x^n(x+1) . Essa é uma série geométrica, onde cada termo é da forma x^n(x+1) . Para investigar a convergência, vamos aplicar o Teste da Razão, que é muito útil para séries com termos envolvendo potências ou fatoriais.

Passo 3

O Teste da Razão diz o seguinte: seja an o n -ésimo termo da série. Calculamos o limite L = limn to infty | an+1an | . Se:
  • L < 1 , a série converge;
  • L > 1 , a série diverge;
  • L = 1 , o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar esse teste à nossa série.

Passo 4

Identificamos . Então, temos:
Agora, calculamos a razão :

Passo 5

Agora, aplicamos o Teste da Razão:
L = limn to infty | an+1an | = |x^x+1|
Para a série convergir, precisamos que L < 1 :
|x^x+1| < 1
Isso implica que |x|^x+1 < 1 .

Passo 6

Vamos resolver a desigualdade |x|^x+1 < 1 :
  • Se |x| < 1 , qualquer potência positiva de |x| será menor que 1.
  • Se |x| = 1 , então |x|^x+1 = 1 , o que torna o teste inconclusivo.
  • Se |x| > 1 , então |x|^x+1 > 1 , e a série diverge.
Portanto, a série converge para |x| < 1 .

Passo 7

Agora que sabemos que a série converge para |x| < 1 , vamos calcular a soma da série. Nossa série é:
sumn=3^infty x^n(x+1)
Essa é uma série geométrica onde cada termo é da forma a cdot r^n , com a sendo o primeiro termo e r a razão.

Passo 8

Identificamos que a razão r é x^x+1 . O primeiro termo da série, quando n=3 , é:
a = x^3(x+1)
A soma de uma série geométrica infinita é dada por:
S = a1 - r
desde que |r| < 1 , o que já garantimos que é verdade para |x| < 1 .

Passo 9

Substituindo a e r na fórmula da soma:
S = x^3(x+1)1 - x^x+1
Essa é a expressão para a soma da série quando |x| < 1 .

Resposta

A série sumn=3^infty x^n(x+1) converge para todos os valores de x tais que |x| < 1 . Para esses valores, a soma da série é dada por:
S = x^3(x+1)1 - x^x+1

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