(5a Questão - 1,5 ponto)
Represente o volume do sólido limitado pelos paraboloides z=8-x^2-y^2 e z=3 x^2+3 y^2, utilizando:
(B) uma integral tripla em coordenadas cilíndricas.
A seguir, utilize a expressão que você julgar mais apropriada e calcule o volume do sólido.

Passo 1

Temos um sólido limitado pelos paraboloides z=8 - x^2 - y^2 (abre para baixo) e z=3x^2+3y^2 (abre para cima). O objetivo é representar e calcular o volume usando coordenadas cilíndricas, aproveitando que nelas x=rcostheta, y=rsintheta e o elemento de volume é dV = r,dz,dr,dtheta.

Passo 2

Para encontrar a região de projeção no plano xy, igualamos as duas superfícies: 8 - r^2 = 3r^2. Daí sai
8 = 4r^2 implies r^2 = 2 implies r = raiz2

Passo 3

Então, em coordenadas cilíndricas a região R tem 0 <= theta <= 2pi e 0 <= r <= raiz2. Para cada (r,theta), z varia de baixo para cima, isto é, de z=3r^2 até z=8 - r^2. Logo, o volume é
V = integraltheta=0^2pi integralr=0^raiz2 integralz=3r^2^8 - r^2 r,dz,dr,dtheta

Passo 4

Agora integramos primeiro em z:
integralz=3r^2^8 - r^2 r,dz = rl[(8 - r^2) - (3r^2)r] = r(8 - 4r^2)

Passo 5

O volume reduz-se a
V = integral0^2pi integral0^raiz2 l(8r - 4r^3r) ,dr,dtheta

Passo 6

Calculando a integral em r:
integral0^raiz2 (8r - 4r^3),dr = l[4r^2 - r^4r]0^raiz2 = (4cdot2) - (, (raiz2)^4,) = 8 - 4 = 4

Passo 7

Por fim, integramos em theta:
V = integral0^2pi 4,dtheta = 4cdot 2pi = 8pi

Resposta

8\pi

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