(5a Questão - 1,5 ponto)
Represente o volume do sólido limitado pelos paraboloides
e
, utilizando:
(B) uma integral tripla em coordenadas cilíndricas.
A seguir, utilize a expressão que você julgar mais apropriada e calcule o volume do sólido.
Represente o volume do sólido limitado pelos paraboloides
(B) uma integral tripla em coordenadas cilíndricas.
A seguir, utilize a expressão que você julgar mais apropriada e calcule o volume do sólido.
Passo 1
Temos um sólido limitado pelos paraboloides
(abre para baixo) e
(abre para cima). O objetivo é representar e calcular o volume usando coordenadas cilíndricas, aproveitando que nelas
,
e o elemento de volume é
.
Passo 2
Para encontrar a região de projeção no plano
, igualamos as duas superfícies:
. Daí sai
Passo 3
Então, em coordenadas cilíndricas a região
tem
e
. Para cada
,
varia de baixo para cima, isto é, de
até
. Logo, o volume é
Passo 4
Agora integramos primeiro em
:
Passo 5
O volume reduz-se a
Passo 6
Calculando a integral em
:
Passo 7
Por fim, integramos em
:
Resposta
8\pi