5.Encontre o lugar geométrico dos pontos cujo produto das distâncias às retas 3 x-4 y+1=0 e 3 x+4 y-7=0 é
144/25 .

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos (x,y) tais que o produto das distâncias a
L_1:\;3x-4y+1=0
e a
L_2:\;3x+4y-7=0
é \tfrac{144}{25}.
Conteúdo: geometria analítica, fórmula da distância de um ponto a uma reta.

Passo 2

A distância de (x,y) a L_1 é
d_1 = \frac{\bigl|3x - 4y + 1\bigr|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{\bigl|3x - 4y + 1\bigr|}{5}
e a distância a L_2 é
d_2 = \frac{\bigl|3x + 4y - 7\bigr|}{5}.
O enunciado diz que
d_1\,d_2 = \frac{144}{25} \;\Longrightarrow\; \frac{\bigl|3x - 4y + 1\bigr|\;\bigl|3x + 4y - 7\bigr|}{25} = \frac{144}{25}
de onde
\bigl|(3x - 4y + 1)(3x + 4y - 7)\bigr| = 144.

Passo 3

Removendo o valor absoluto, temos dois casos:
(3x - 4y + 1)(3x + 4y - 7) = 144 \quad\text{ou}\quad (3x - 4y + 1)(3x + 4y - 7) = -144.

Passo 4

Expandindo o produto genérico
(3x - 4y + 1)(3x + 4y - 7) =9x^2 -16y^2 -18x +32y -7,
os dois casos viram
9x^2 -16y^2 -18x +32y -7 = 144 \quad\Longrightarrow\quad 9x^2 -16y^2 -18x +32y -151 = 0,
9x^2 -16y^2 -18x +32y -7 = -144 \quad\Longrightarrow\quad 9x^2 -16y^2 -18x +32y +137 = 0.

Passo 5

Cada uma dessas equações é a de uma hipérbole centrada em algum ponto.
O lugar geométrico é, portanto, a união das duas hipérboles
9x^2 -16y^2 -18x +32y -151 = 0 \quad\text{e}\quad 9x^2 -16y^2 -18x +32y +137 = 0.

Resposta

O lugar geométrico é dado pela união das curvas
9x^2 -16y^2 -18x +32y -151 = 0 \quad\text{e}\quad 9x^2 -16y^2 -18x +32y +137 = 0.

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