8.(a)Uma hipérbole divide o plano em três subconjuntos disjuntos:a própria hipérbole,a região que contém seus focos,denominada região focal,e a região que contém seu centro,a região não focal.Descreva a região focal e a região não focal mediante desigualdades,no caso em que a hipérbole tem centro no ponto
e reta focal paralela ao eixo
.
(b)Verifique se os pontos
e
pertencem à hipérbole
,à região focal ou à região não focal de
.
(b)Verifique se os pontos
Passo 1
O enunciado aborda hipérboles com eixo transverso paralelo a
e pede duas coisas:
Em (a), descrever a região focal (que contém os focos) e a região não focal (que contém o centro) por meio de desigualdades, a partir da forma padrão
determinar se os pontos
,
e
estão sobre
, na região focal ou na região não focal.
Passo 2
Para uma hipérbole com centro
e eixo transverso paralelo a
, a região focal é o conjunto de pontos que satisfaz
enquanto a região não focal (a parte entre os dois ramos) satisfaz
Passo 3
Vamos converter
à forma padrão.
. Agrupamos termos de
:
Logo,
Passo 4
Para cada ponto
calculamos
Se
, o ponto está em
; se
, está na região focal; se
, está na região não focal.
.
:
Resposta
(a) Região focal:
região não focal:
(b) Para
com
:
está na região focal,
e
estão na região não focal.