8.(a)Uma hipérbole divide o plano em três subconjuntos disjuntos:a própria hipérbole,a região que contém seus focos,denominada região focal,e a região que contém seu centro,a região não focal.Descreva a região focal e a região não focal mediante desigualdades,no caso em que a hipérbole tem centro no ponto \left(x_{o}, y_{o}\right) e reta focal paralela ao eixo O X
(b)Verifique se os pontos (5,3),(-1,-2) e (-8,4) pertencem à hipérbole \mathcal{H}: 4 x^{2}-9 y^{2}+20 x-11=0 ,à região focal ou à região não focal de \mathcal{H}

Passo 1

O enunciado aborda hipérboles com eixo transverso paralelo a OX e pede duas coisas:
\bullet Em (a), descrever a região focal (que contém os focos) e a região não focal (que contém o centro) por meio de desigualdades, a partir da forma padrão
\frac{(x-x_{0})^{2}}{a^{2}} - \frac{(y-y_{0})^{2}}{b^{2}} = 1.
\bullet Em (b), para a hipérbole
\mathcal{H}:\;4x^{2}-9y^{2}+20x-11=0,
determinar se os pontos (5,3), (-1,-2) e (-8,4) estão sobre \mathcal{H}, na região focal ou na região não focal.

Passo 2

Para uma hipérbole com centro \bigl(x_{0},y_{0}\bigr) e eixo transverso paralelo a OX, a região focal é o conjunto de pontos que satisfaz
\frac{(x-x_{0})^{2}}{a^{2}} \;-\;\frac{(y-y_{0})^{2}}{b^{2}} \;>\;1,
enquanto a região não focal (a parte entre os dois ramos) satisfaz
\frac{(x-x_{0})^{2}}{a^{2}} \;-\;\frac{(y-y_{0})^{2}}{b^{2}} \;<\;1.

Passo 3

Vamos converter \mathcal{H}:4x^{2}-9y^{2}+20x-11=0 à forma padrão.
1. Agrupamos termos de x:
4\bigl(x^{2}+5x\bigr)-9y^{2}-11=0.
2. Completamos o quadrado em x:
x^{2}+5x = \bigl(x+\tfrac{5}{2}\bigr)^{2} - \bigl(\tfrac{5}{2}\bigr)^{2} = \bigl(x+\tfrac{5}{2}\bigr)^{2} - \tfrac{25}{4}.
3. Substituindo e rearranjando:
4\Bigl[\bigl(x+\tfrac{5}{2}\bigr)^{2}-\tfrac{25}{4}\Bigr] -9y^{2}-11=0 \;\;\Longrightarrow\;\; 4\bigl(x+\tfrac{5}{2}\bigr)^{2} -9y^{2} -36=0 \;\;\Longrightarrow\;\; \frac{\bigl(x+\tfrac{5}{2}\bigr)^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{4} = 1.
Logo,
x_{0} = -\frac{5}{2},\quad y_{0}=0,\quad a^{2}=9,\quad b^{2}=4.

Passo 4

Para cada ponto (x,y) calculamos
S=\frac{(x+{\tfrac{5}{2}})^{2}}{9} \;-\;\frac{y^{2}}{4}.
Se S=1, o ponto está em \mathcal{H}; se S>1, está na região focal; se S<1, está na região não focal.
1. (5,3):
x+{\tfrac{5}{2}}=7{,}5,\; \frac{7{,}5^{2}}{9}=6{,}25,\; \frac{3^{2}}{4}=2{,}25 \;\Longrightarrow\; S=6{,}25-2{,}25=4>1
\to região focal.
2. (-1,-2):
x+{\tfrac{5}{2}}=1{,}5,\; \frac{1{,}5^{2}}{9}=0{,}25,\; \frac{(-2)^{2}}{4}=1 \;\Longrightarrow\; S=0{,}25-1=-0{,}75<1
\to região não focal.
3. (-8,4):
x+{\tfrac{5}{2}}=-5{,}5,\; \frac{(-5{,}5)^{2}}{9}\approx3{,}3611,\; \frac{4^{2}}{4}=4 \;\Longrightarrow\; S\approx3{,}3611-4=-0{,}6389<1
\to região não focal.

Resposta

(a) Região focal:
\frac{(x-x_{0})^{2}}{a^{2}} - \frac{(y-y_{0})^{2}}{b^{2}} > 1,
região não focal:
\frac{(x-x_{0})^{2}}{a^{2}} - \frac{(y-y_{0})^{2}}{b^{2}} < 1.
(b) Para \mathcal{H}:4x^{2}-9y^{2}+20x-11=0 com x_{0}=-\tfrac{5}{2},y_{0}=0,a^{2}=9,b^{2}=4:
(5,3) está na região focal,
(-1,-2) e (-8,4) estão na região não focal.

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