Determine,caso existam,os valores de \lambda \in \mathbb{R} para os quais a equação dada representa uma hipérbole,incluindo o caso degenerado.
\left(\lambda^{2}-1\right) x^{2}+2\left(\lambda^{2}-1\right)(\lambda-1) x+\left(\lambda^{2}-4\right) y^{2}=(\lambda-1)^{2}

Passo 1

O enunciado pede os valores reais de \lambda para os quais
(\lambda^{2}-1)x^{2}+2(\lambda^{2}-1)(\lambda-1)x+(\lambda^{2}-4)y^{2}=(\lambda-1)^{2}
é uma hipérbole (incluindo casos degenerados).
Conteúdo: classificação de cônicas sem termo xy, em que se usa A\,x^2 + C\,y^2 + \cdots =0 e o critério de hipérbole é A\,C<0.

Passo 2

Identificamos os coeficientes
A = \lambda^2 - 1, \quad B=0, \quad C = \lambda^2 - 4.
Como B=0, a condição de hipérbole é
B^2 - 4AC > 0 \;\Longleftrightarrow\; -4\,A\,C > 0 \;\Longleftrightarrow\; A\,C<0.

Passo 3

Calculamos
A\,C = (\lambda^2-1)(\lambda^2-4).
Estudando o sinal:
  • Para |\lambda|>2: \lambda^2-4>0 e \lambda^2-1>0, logo AC>0.
  • Para 1<|\lambda|<2: \lambda^2-1>0 e \lambda^2-4<0, logo AC<0.
  • Para |\lambda|<1: \lambda^2-1<0 e \lambda^2-4<0, logo AC>0.
    Portanto a única região com A\,C<0 é
1<|\lambda|<2,
isto é \lambda\in(-2,-1)\cup(1,2).

Passo 4

Verificamos os pontos de degenerescência onde A\,C=0, isto é \lambda=\pm1 ou \lambda=\pm2. Nesses valores a cônica vira:
  • Para \lambda=\pm2 ou \lambda=1 obtém-se duas retas paralelas ou coincidentes (não cruzam), não hipérbole degenerada.
  • Para \lambda=-1 não há solução real.
    Logo não há casos de hipérbole degenerada além da faixa já obtida.

Resposta

\displaystyle \lambda\in(-2,-1)\cup(1,2)

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