Determine,caso existam,os valores de
λ ∈ ℝ para os quais a equação dada representa uma hipérbole,incluindo o caso degenerado.
(b)(λ-1)(λ-2) x^{2}+(λ-2) y^{2}-2 λ(λ-2) y=3 λ{2}-λ{3} ;
(b)(λ-1)(λ-2) x^{2}+(λ-2) y^{2}-2 λ(λ-2) y=3 λ{2}-λ{3} ;
Passo 1
O enunciado nos dá a cônica
e pede os valores de
para os quais ela é uma hipérbole, incluindo o caso degenerado.
O conteúdo necessário é a classificação de cônicas sem termo em pela discriminante
O conteúdo necessário é a classificação de cônicas sem termo em
onde
e
são os coeficientes de
e
e
o de
. Para ser hipérbole não degenerada precisamos ter
e o determinante do sistema matricial da cônica diferente de zero; o caso degenerado ocorre quando esse determinante é zero.
Passo 2
Identificamos os coeficientes na forma geral
não há termo
; o termo em
dá
e o termo constante é
Passo 3
Calculamos a discriminante da parte quadrática
Para que a cônica seja hipérbole propriamente dita, precisamos de
.
Passo 4
Resolvendo
: como
e só é zero em
, temos
Mas
já está implícito em
. Logo a condição para hipérbole (talvez degenerada) é
.
Passo 5
Para distinguir o caso degenerado, calculamos o determinante da matriz simétrica ampliada
Uma cônica é degenerada se e somente se
, isto é, quando
,
ou
.
Passo 6
Juntando tudo:
- Para
temos , ou seja, hipérbole. - Dessas, se
então , é hipérbole não degenerada. - Em
temos e , é hipérbole degenerada (duas retas concorrentes). - Os casos
ou não são hipérboles (aqui , são parábolas degeneradas).
Resposta
A equação é hipérbole para todos os
.
Entre estes:
– Se , é hipérbole própria (não degenerada).
– Se , degenera em duas retas (hipérbole degenerada).
Entre estes:
– Se
– Se