Determine,caso existam,os valores de
λ ∈ ℝ para os quais a equação dada representa uma hipérbole,incluindo o caso degenerado.
(b)(λ-1)(λ-2) x^{2}+(λ-2) y^{2}-2 λ(λ-2) y=3 λ{2}-λ{3} ;

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica
(\lambda-1)(\lambda-2)x^{2}+(\lambda-2)y^{2}-2\lambda(\lambda-2)y=3\lambda^{2}-\lambda^{3}
e pede os valores de \lambda\in\mathbb{R} para os quais ela é uma hipérbole, incluindo o caso degenerado.
O conteúdo necessário é a classificação de cônicas sem termo em xy pela discriminante
\Delta = A\,B - C^{2},
onde A e B são os coeficientes de x^{2} e y^{2} e C o de xy. Para ser hipérbole não degenerada precisamos ter \Delta<0 e o determinante do sistema matricial da cônica diferente de zero; o caso degenerado ocorre quando esse determinante é zero.

Passo 2

Identificamos os coeficientes na forma geral
A=(\lambda-1)(\lambda-2),\quad B=(\lambda-2),\quad C=0,
não há termo xy; o termo em y E=-\lambda(\lambda-2) e o termo constante é
F=-(3\lambda^{2}-\lambda^{3})=\lambda^{3}-3\lambda^{2}.

Passo 3

Calculamos a discriminante da parte quadrática
\Delta = A\,B - C^{2} = (\lambda-1)(\lambda-2)\,(\lambda-2) =(\lambda-2)^{2}(\lambda-1).
Para que a cônica seja hipérbole propriamente dita, precisamos de \Delta<0.

Passo 4

Resolvendo \Delta<0: como (\lambda-2)^{2}\ge0 e só é zero em \lambda=2, temos
\Delta<0\quad\Longleftrightarrow\quad (\lambda-2)^{2}>0 \text{ e }\lambda-1<0 \quad\Longleftrightarrow\quad \lambda<1,\\ \lambda\neq2.
Mas \lambda\neq2 já está implícito em \lambda<1. Logo a condição para hipérbole (talvez degenerada) é \lambda<1.

Passo 5

Para distinguir o caso degenerado, calculamos o determinante da matriz simétrica ampliada
\det M=-\lambda^{2}(\lambda-1)(\lambda-2)^{2}.
Uma cônica é degenerada se e somente se \det M=0, isto é, quando \lambda=0, \lambda=1 ou \lambda=2.

Passo 6

Juntando tudo:
  • Para \lambda<1 temos \Delta<0, ou seja, hipérbole.
  • Dessas, se \lambda\neq0 então \det M\neq0, é hipérbole não degenerada.
  • Em \lambda=0 temos \Delta<0 e \det M=0, é hipérbole degenerada (duas retas concorrentes).
  • Os casos \lambda=1 ou \lambda=2 não são hipérboles (aqui \Delta=0, são parábolas degeneradas).

Resposta

A equação é hipérbole para todos os \lambda<1.
Entre estes:
– Se \lambda\neq0, é hipérbole própria (não degenerada).
– Se \lambda=0, degenera em duas retas (hipérbole degenerada).

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