6.Ache a equação da hipérbole conjugada à hipérbole de centro na origem com um vértice em (3,0) e uma assíntota 2 x-3 y=0 .

Passo 1

O enunciado nos dá uma hipérbole de centro na origem cujo vértice está em (3,0) e uma assíntota é dada por
2x - 3y = 0.
O que vamos usar: a forma padrão da hipérbole com eixo transverso no eixo x,
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1,
e o fato de que suas assíntotas são
y = \pm \frac{b}{a}\,x.

Passo 2

Como o vértice está em (3,0) e na forma padrão os vértices são (\pm a,0), concluímos que
a = 3.

Passo 3

A reta 2x - 3y = 0 pode ser escrita como
y = \frac{2}{3}\,x,
logo o coeficiente angular é \tfrac{b}{a} = \tfrac{2}{3}. Substituindo a = 3, obtém-se
b = a \cdot \frac{2}{3} = 3 \cdot \frac{2}{3} = 2.

Passo 4

A equação da hipérbole original fica, com a=3 e b=2,
\frac{x^2}{9} \;-\;\frac{y^2}{4} \;=\;1.

Passo 5

A hipérbole conjugada tem a mesma forma geral, mas com os sinais trocados:
-\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1,
ou seja,
\frac{y^2}{4} \;-\;\frac{x^2}{9} \;=\;1.

Resposta

\frac{y^2}{4} \;-\;\frac{x^2}{9} \;=\;1.

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