Determine o conjunto dos valores de x para os quais as funções abaixo são crescentes:
f(x)=\operatorname{sen} x-\cos x

Passo 1

O enunciado pede os valores de x para os quais a função
f(x)=\operatorname{sen} x - \cos x
é crescente. Isto se resolve usando o teste da primeira derivada: a função cresce quando
f'(x)\ge0.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen} x\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(\cos x\bigr) =\cos x + \operatorname{sen} x.

Passo 3

Precisamos resolver a desigualdade
\cos x + \operatorname{sen} x \ge 0.
Usamos a identidade de soma em um único seno:
\operatorname{sen} x + \cos x =\sqrt{2}\,\operatorname{sen}\bigl(x+\tfrac{\pi}{4}\bigr).
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\sqrt{2}\,\operatorname{sen}\bigl(x+\tfrac{\pi}{4}\bigr)\ge0 \quad\Longleftrightarrow\quad \operatorname{sen}\bigl(x+\tfrac{\pi}{4}\bigr)\ge0.
Sabemos que \operatorname{sen} t\ge0 exatamente quando
t\in[2k\pi,\;2k\pi+\pi],
para todo k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Fazendo t=x+\tfrac{\pi}{4}, obtemos
x+\tfrac{\pi}{4}\in[2k\pi,\;2k\pi+\pi] \quad\Longleftrightarrow\quad x\in\bigl[2k\pi-\tfrac{\pi}{4},\;2k\pi+\tfrac{3\pi}{4}\bigr],
com k\in\mathbb{Z}.

Resposta

A função f(x)=\operatorname{sen} x-\cos x é crescente para
\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\Bigl[\,2k\pi-\tfrac{\pi}{4},\;2k\pi+\tfrac{3\pi}{4}\Bigr].

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