Esercicios: Resolver os PVIs:
\\left\{\\\begin{array}{l}y^{\prime \"}-2 y^{\prime}+2 y=0 \\\\\ y(0)=0 \\\\\ y^{\prime}(0)=1\end{array}\\\right.\

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
\begin{cases} y'' - 2y' + 2y = 0,\\\ y(0)=0,\\\ y'(0)=1. \end{cases}
O conteúdo é EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar a equação característica para encontrar a solução geral e depois impor as condições iniciais.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada a
y'' - 2y' + 2y = 0
substituindo y=e^{rx}. Isso dá
r^2 - 2r + 2 = 0.
Resolvendo a equação quadrática,
r = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4\cdot1\cdot2}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = 1 \pm i.

Passo 3

Como as raízes são complexas conjugadas r = 1 \pm i, a solução geral é
y(x) = e^{x}\bigl(C_1 \cos x + C_2 \sin x\bigr),
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Impondo y(0)=0, temos
y(0) = e^{0}\bigl(C_1\cos0 + C_2\sin0\bigr) = C_1\cdot1 + C_2\cdot0 = C_1 = 0.

Passo 5

Agora calculamos y'(x). Diferenciando
y(x) = e^{x}(C_1\cos x + C_2\sin x)
vem
y'(x) = e^{x}(C_1\cos x + C_2\sin x) + e^{x}(-C_1\sin x + C_2\cos x) = e^{x}\bigl((C_1 + C_2)\cos x + (C_2 - C_1)\sin x\bigr).
Usando C_1=0 e impondo y'(0)=1, obtemos
y'(0) = e^{0}\bigl((0+C_2)\cdot1 + (C_2-0)\cdot0\bigr) = C_2 = 1.

Resposta

y(x) = e^{x}\sin x.

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