3- (1,5pt) Uma esfera maciça é abandonada a partir do repouso numa rampa e a desce rolando suavemente. Calcule a altura inicial da esfera, sabendo que ela chega ao final da rampa com velocidade igual a 3,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Dado: o momento de inércia de uma esfera maciça de massa M e raio R, em relação ao seu eixo de simetria, é 2 M R^{2} / 5.

Passo 1

O enunciado diz que uma esfera maciça de massa M e raio R é solta a partir do repouso no alto de uma rampa e chega ao final com velocidade de 3{,}00,m/s, rolando sem deslizar. O conteúdo principal é a conservação de energia mecânica incluindo energia de rotação. Vamos usar:
– Energia potencial inicial Mgh.
– Energia cinética de translação \tfrac12 Mv^2.
– Energia cinética de rotação \tfrac12 I\omega^2, com I=\tfrac{2}{5}MR^2 e \omega=v/R.

Passo 2

Escrevendo a conservação de energia mecânica entre o topo (altura h) e a base da rampa:
Mgh \;=\; \tfrac12 Mv^2 \;+\; \tfrac12\,I\,\omega^2.

Passo 3

Para rolamento sem deslizar, a velocidade angular \omega relaciona-se a v por
\omega = \frac{v}{R}.
O momento de inércia vale
I = \frac{2}{5}M R^2.

Passo 4

Substituindo I e \omega na energia de rotação:
\tfrac12\,I\,\omega^2 = \tfrac12\;\frac{2}{5}MR^2\;\Bigl(\frac{v}{R}\Bigr)^2 = \frac{1}{5}M\,v^2.

Passo 5

Agora somamos as energias cinéticas:
\tfrac12 Mv^2 + \frac{1}{5}Mv^2 = \Bigl(\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{5}\Bigr)M v^2 = \frac{7}{10}M v^2.
Logo a conservação de energia fica
Mgh = \frac{7}{10}M v^2 \quad\Longrightarrow\quad h = \frac{\tfrac{7}{10}M v^2}{M g} = \frac{7\,v^2}{10\,g}.

Passo 6

Substituindo v = 3{,}00,m/s e g = 9{,}8,m/s²:
h = \frac{7 \times (3{,}00)^2}{10 \times 9{,}8} = \frac{7 \times 9}{98} = \frac{63}{98} \approx 0{,}643\text{ m}.

Resposta

A altura inicial da esfera é aproximadamente 0{,}64,m.

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