3- (1,5pt) Uma esfera maciça é abandonada a partir do repouso numa rampa e a desce rolando suavemente. Calcule a altura inicial da esfera, sabendo que ela chega ao final da rampa com velocidade igual a
. Dado: o momento de inércia de uma esfera maciça de massa
e raio
, em relação ao seu eixo de simetria, é
.
Passo 1
O enunciado diz que uma esfera maciça de massa
e raio
é solta a partir do repouso no alto de uma rampa e chega ao final com velocidade de
,m/s, rolando sem deslizar. O conteúdo principal é a conservação de energia mecânica incluindo energia de rotação. Vamos usar:
– Energia potencial inicial .
– Energia cinética de translação .
– Energia cinética de rotação , com
e
.
– Energia potencial inicial
– Energia cinética de translação
– Energia cinética de rotação
Passo 2
Escrevendo a conservação de energia mecânica entre o topo (altura
) e a base da rampa:
Passo 3
Para rolamento sem deslizar, a velocidade angular
relaciona-se a
por
O momento de inércia vale
Passo 4
Substituindo
e
na energia de rotação:
Passo 5
Agora somamos as energias cinéticas:
Logo a conservação de energia fica
Passo 6
Substituindo
,m/s e
,m/s²:
Resposta
A altura inicial da esfera é aproximadamente
,m.