Determine o máximo e mínimo global nos intervalos fixados das seguintes funções. (Dica: veja o exemplo resolvido.)
no intervalo
;
Exemplo: Vamos encontrar os máximos e mínimos globais de
no intervalo
. Inicialmente devemos encontrar os pontos criticos:
Agora devemos determinar se os pontos críticos são máximos ou mínimos locais. Para tanto basta estudar o sinal de
. Como
é uma função quadrática cujo gráfico tem concavidade para cima, então
para
ou
e
para
e assim
é uт máximo local e
é um mínimo local. Como
está definida num intervalo fechado, basta calcular os valores de máximo e mínimo locais e comparar com os valores de f nos extremos do intervalo fechado.
Note que
, então -1 é ponto de mínimo global com -7 valor de mínimo global equanto que 3 é ponto de máximo global com 45 valor de máximo global.
Exemplo: Vamos encontrar os máximos e mínimos globais de
Note que
Passo 1
O enunciado pede para determinar o máximo e o mínimo global da função
no intervalo fechado
. O conteúdo é análise de extremos em intervalos fechados: vamos calcular a derivada, achar pontos críticos internos e comparar valores nos pontos críticos e nas extremidades.
Passo 2
Calcular a derivada:
Igualando a zero para achar pontos críticos:
Esse valor
pertence ao intervalo
(pois
).
Passo 3
Avaliar
nos extremos do intervalo e no ponto crítico:
Passo 4
Comparando os valores:
Logo, o valor mínimo global é
em
e o valor máximo global é
em
.
Resposta
Mínimo global: ocorre em
com valor
.
Máximo global: ocorre em com valor
.
Máximo global: ocorre em