Determine o máximo e mínimo global nos intervalos fixados das seguintes funções. (Dica: veja o exemplo resolvido.)
f(x)=x ln x no intervalo [1 / 3,2];
Exemplo: Vamos encontrar os máximos e mínimos globais de f(x)=2 x^3+3 x^2-12 x no intervalo [-3,3]. Inicialmente devemos encontrar os pontos criticos:
c f^prime(x)=6 x^2+6 x-12 6 x^2+6 x-12=0 Longrightarrow Longrightarrow x^2+x-2=0 Longrightarrow Longrightarrow x1=1, x2=-2
Agora devemos determinar se os pontos críticos são máximos ou mínimos locais. Para tanto basta estudar o sinal de f^prime. Como f^prime é uma função quadrática cujo gráfico tem concavidade para cima, então f^prime(x)>0 para -3 <= x<-2 ou 1<x <= 3 e f^prime(x)<0 para -2<x<1 e assim x1=-2 é uт máximo local e x2=1 é um mínimo local. Como f está definida num intervalo fechado, basta calcular os valores de máximo e mínimo locais e comparar com os valores de f nos extremos do intervalo fechado.
Note que f(-3)=9, f(-2)=20, f(1)=-7, f(3)=45, então -1 é ponto de mínimo global com -7 valor de mínimo global equanto que 3 é ponto de máximo global com 45 valor de máximo global.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o máximo e o mínimo global da função f(x)=xln x no intervalo fechado [tfrac13,2]. O conteúdo é análise de extremos em intervalos fechados: vamos calcular a derivada, achar pontos críticos internos e comparar valores nos pontos críticos e nas extremidades.

Passo 2

Calcular a derivada:
f'(x)=ddxl(xln xr)=ln x+1
Igualando a zero para achar pontos críticos:
ln x+1=0 Longrightarrow ln x=-1 Longrightarrow x= e^-1=tfrac1e
Esse valor tfrac1eapprox0,3679 pertence ao intervalo [tfrac13,2] (pois tfrac13approx0,3333).

Passo 3

Avaliar f nos extremos do intervalo e no ponto crítico:
fl(tfrac13r)=tfrac13lnl(tfrac13r) =-tfracln33approx-0,3662,
fl(tfrac1er)=tfrac1elnl(tfrac1er) =-tfrac1eapprox-0,3679,
f(2)=2ln2approx1,3863

Passo 4

Comparando os valores:
fl(tfrac1er)approx-0,3679 < fl(tfrac13r)approx-0,3662 < f(2)approx1,3863
Logo, o valor mínimo global é -tfrac1e em x=tfrac1e e o valor máximo global é 2ln2 em x=2.

Resposta

Mínimo global: ocorre em x=tfrac1e com valor f(tfrac1e)=-tfrac1e.
Máximo global: ocorre em x=2 com valor f(2)=2ln2.

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