(3 pontos) Resolva \left\{\begin{aligned} \frac{d x}{d t} & =-y \\\ \frac{d y}{d t} & =x \\\ \frac{d z}{d t} & =-x\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear de coeficientes constantes
\begin{cases} \frac{d x}{d t} = -y,\\\ \frac{d y}{d t} = x,\\\ \frac{d z}{d t} = -x, \end{cases}
e pede a solução geral (x(t),y(t),z(t)). O conteúdo aqui é a resolução de um sistema acoplado de EDOs, que vamos decoplar pelas primeiras duas equações e depois integrar para z.

Passo 2

Tomamos a derivada de \frac{d x}{d t}=-y em relação a t para obter uma equação só em x:
\frac{d^2x}{d t^2} =\frac{d}{dt}\!\biggl(-y\biggr) =-\frac{d y}{d t} =-x.
Logo temos a EDO harmônica
\frac{d^2x}{d t^2}+x=0.

Passo 3

A solução geral de
\frac{d^2x}{d t^2}+x=0
é
x(t)=C_{1}\cos t + C_{2}\sin t,
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 4

Usamos \frac{d x}{d t}=-y para encontrar y(t). Primeiro
\frac{d x}{d t} =-C_{1}\sin t + C_{2}\cos t,
portanto
y(t)=-\frac{d x}{d t} =C_{1}\sin t - C_{2}\cos t.

Passo 5

Finalmente, integramos \frac{d z}{d t}=-x(t):
\frac{d z}{d t} = -\bigl(C_{1}\cos t + C_{2}\sin t\bigr) \;\Longrightarrow\; z(t) =-C_{1}\int\cos t\,dt - C_{2}\int\sin t\,dt + C_{3}
z(t) =-C_{1}\sin t + C_{2}\cos t + C_{3},
onde C_{3} é mais uma constante de integração.

Resposta

x(t)=C_{1}\cos t + C_{2}\sin t,
y(t)=C_{1}\sin t - C_{2}\cos t,
z(t)=-C_{1}\sin t + C_{2}\cos t + C_{3}.

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