7.Na modelagem de uma simulação 3D,a base local de um objeto foi alterada.As duas bases são:
B=(2,0,1),(1,1,1),(0,1,2), C=(1,1,1),(1,0,-1),(1,2,0)
Sabendo que um ponto tinha coordenadas [p]B=(3,-2,1) ,encontre suas coordenadas na nova base C

Passo 1

O enunciado dá duas bases de R^3:
B=(2,0,1),(1,1,1),(0,1,2), C=(1,1,1),(1,0,-1),(1,2,0),
e pede para achar as coordenadas de um ponto p na base C, sabendo que em B ele vale [p]B=(3,-2,1). O conteúdo aqui é mudança de base em R^3: primeiro expressar p na base canônica, depois resolver o sistema que dá as coordenadas em C.

Passo 2

Como [p]B=(3,-2,1), temos
p =3,(2,0,1)-2,(1,1,1)+1,(0,1,2)
Somando coordenada a coordenada,
p=(6,0,3)+(-2,-2,-2)+(0,1,2)=(4,-1,3)

Passo 3

Para achar [p]C=(x,y,z), escrevemos
x,(1,1,1)+y,(1,0,-1)+z,(1,2,0)=(4,-1,3)
Isso gera o sistema
x+y+z=4, x+2z=-1, x-y=3

Passo 4

Da terceira equação x-y=3 vem y=x-3. Da segunda x+2z=-1 vem z=tfrac-1-x2. Substituindo em x+y+z=4:
x+(x-3)+-1-x2=4 ;Longrightarrow; 3x-7=8 ;Longrightarrow; x=5
Logo y=5-3=2 e z=tfrac-1-52=-3.

Resposta

As coordenadas de p na base C são
[p]C=(5,2,-3)

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