[6.0] Considere uma esfera de raio R com uma densidade de carga,
rho(r)=3 Qpi R^4(R-r) (r <= R)
onde a coordenada r é medida em relação ao centro da esfera. Calcule:
a) a carga total na esfera.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular a carga total em uma esfera com raio $ R $ onde a densidade de carga varia com a distância do centro, dada por:
R
O conteúdo que vamos usar aqui é de cálculo de carga total a partir da densidade de carga. Precisamos usar a integração em coordenadas esféricas para somar todas as pequenas cargas presentes na esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que para encontrar a carga total $ Q_{total} $, a gente precisa integrar a densidade de carga $ \rho® $ sobre todo o volume da esfera. Matemática falando, isso fica:
Qtotal
Aqui, $ dV $ é um elemento de volume na esfera. Em coordenadas esféricas, esse elemento é dado por:
rho(r)

Passo 3

Agora, substituindo $ dV $ e $ \rho® $ na integral, temos:
dV
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, multiplicamos os coeficientes:
rho(r)
Então, a integral fica:
Qtotal = integral0^R 3 Qpi R^4(R - r) cdot 4pi r^2 dr

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral:
integral0^R (R - r) r^2 dr
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
(R - r) r^2 = R r^2 - r^3
Então, a integral se divide em duas partes:
integral0^R R r^2 dr - integral0^R r^3 dr

Passo 5

Resolvendo cada integral separadamente:
  1. integral0^R R r^2 dr = R cdot [ r^33 ]0^R = R cdot ( R^33 - 0 ) = R^43
  2. integral0^R r^3 dr = [ r^44 ]0^R = R^44 - 0 = R^44

Passo 6

Substituindo de volta na expressão principal:
integral0^R (R - r) r^2 dr = R^43 - R^44 = 4R^4 - 3R^412 = R^412

Passo 7

Agora, substituímos o valor da integral na expressão de $ Q_{total} $:
Qtotal

Resposta

A carga total na esfera é $ Q $.

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