[6.0] Considere uma esfera de raio
com uma densidade de carga,
onde a coordenada r é medida em relação ao centro da esfera. Calcule:
a) a carga total na esfera.
a) a carga total na esfera.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular a carga total em uma esfera com raio $ R $ onde a densidade de carga varia com a distância do centro, dada por:
O conteúdo que vamos usar aqui é de cálculo de carga total a partir da densidade de carga. Precisamos usar a integração em coordenadas esféricas para somar todas as pequenas cargas presentes na esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que para encontrar a carga total $ Q_{total} $, a gente precisa integrar a densidade de carga $ \rho® $ sobre todo o volume da esfera. Matemática falando, isso fica:
Aqui, $ dV $ é um elemento de volume na esfera. Em coordenadas esféricas, esse elemento é dado por:
Passo 3
Agora, substituindo $ dV $ e $ \rho® $ na integral, temos:
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, multiplicamos os coeficientes:
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, precisamos resolver a integral:
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Então, a integral se divide em duas partes:
Passo 5
Resolvendo cada integral separadamente:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão principal:
Passo 7
Agora, substituímos o valor da integral na expressão de $ Q_{total} $:
Resposta
A carga total na esfera é $ Q $.