[6.] Encontre a família de soluções da equação
u^{\prime}+p u=0 \quad \text { onde } p \text { é uma constante. }é
A seguir encontre a família de soluções que atende a condição u(0)=1. São os conjuntos de soluções obtidos diferentes?

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
u^{\prime}+p\,u=0
onde p é uma constante. Pede-se:
  • Encontrar a família geral de soluções dessa equação.
  • Encontrar a família de soluções que atende à condição inicial u(0)=1.
  • Dizer se os conjuntos de soluções obtidos são diferentes.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função incógnita é u, dependente de uma variável independente (chamarei de x); logo u'=du/dx.
  • p é uma constante real.
  • Há uma condição inicial específica u(0)=1 para a segunda parte.

Passo 2

Qual método usar e por quê (breve justificativa didática).
Esta equação é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem com coeficiente constante. Mas há uma observação prática muito útil: pode-se reescrever como
\frac{du}{dx}=-p\,u,
o que mostra que as variáveis u e x estão separáveis. Resolver por separação de variáveis é simples e direto, portanto vou usar esse método (é o mais rápido para este tipo de equação). Vou também verificar depois que a solução encontrada satisfaz a equação original.

Passo 3

Separação de variáveis — reescrever e isolar os diferenciais.
Partindo de
\frac{du}{dx}=-p\,u,
posso separar as variáveis colocando todos os termos com u de um lado e os termos com x do outro:
\frac{1}{u}\,du = -p\,dx.
Aqui há uma observação técnica: a divisão por u exige u\neq0. Essa divisão permite integrar; a solução identicamente nula ( u\equiv0) será tratada como caso especial depois. Para agora, assumimos u\neq0 localmente e prosseguimos com integração.

Passo 4

Integrar ambos os lados e interpretar a constante de integração.
Integramos em relação a x (ou de forma equivalente, integrar o lado em u em termos de u e o lado em x em termos de x):
\int \frac{1}{u}\,du = \int -p\,dx.
A integral do lado esquerdo é a função logaritmo natural; a do lado direito é um múltiplo simples:
\ln|u| = -p x + C,
onde C é a constante de integração (número real). Expliquei o valor absoluto: a primitiva de 1/u é \ln|u| para cobrir u>0 e u<0.

Passo 5

Exponentiar para isolar u e obter a forma explícita da solução.
Aplicando exponencial em ambos os lados para eliminar o logaritmo:
|u| = e^{\ln|u|} = e^{-p x + C} = e^{C} e^{-p x}.
Definindo A:=e^{C}>0, obtemos |u| = A e^{-p x}. Isso dá u = \pm A e^{-p x}. Para agrupar os sinais e permitir a solução nula, é comum escrever a constante multiplicativa geral como C\in\mathbb{R} (podendo ser zero, positivo ou negativo). Assim obtemos a família geral
u(x) = C e^{-p x},\qquad C\in\mathbb{R}.

Passo 6

Tratamento do caso u\equiv0 e confirmação de que está incluído.
A solução u\equiv0 (função identicamente zero) é solução da equação original, pois substituindo \,u=0 temos 0 + p\cdot 0 = 0. Essa solução corresponde à escolha C=0 na forma u(x)=C e^{-p x}. Portanto a expressão do passo anterior cobre todos os casos, inclusive o trivial.

Passo 7

Verificação rápida por substituição (checagem).
Para garantir que a solução é correta, calcule u' para u(x)=C e^{-p x}:
u'(x) = C\cdot(-p)e^{-p x} = -p\,(C e^{-p x}) = -p\,u(x).
Reescrevendo, u' + p u = 0. Logo a família encontrada satisfaz a equação.

Passo 8

Aplicar a condição inicial u(0)=1.
Usando u(x)=C e^{-p x} e impondo u(0)=1, obtemos
u(0)=C e^{-p\cdot 0}=C\cdot 1 = C.
Portanto C=1. A solução que atende à condição inicial é
u(x)=e^{-p x}.

Passo 9

Interpretar se os conjuntos de soluções são diferentes.
A família geral é o conjunto \{\,u(x)=C e^{-p x}\mid C\in\mathbb{R}\,\}, que contém infinitas soluções parametrizadas por C. A família que atende u(0)=1 é o subconjunto com C=1, ou seja o único elemento \{\,u(x)=e^{-p x}\,\}. Portanto os conjuntos não são iguais: o conjunto com condição inicial é um subconjunto (na verdade um elemento fixado) da família geral.

Resposta

u(x)=C e^{-p x},\; C\in\mathbb{R}.\n
u(x)=e^{-p x}.\n
Sim. A solução que satisfaz u(0)=1 corresponde ao caso C=1 da família geral, ou seja é um subconjunto (um elemento fixado) da família geral.

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