[6.] Encontre a família de soluções da equação
A seguir encontre a família de soluções que atende a condição
. São os conjuntos de soluções obtidos diferentes?
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
onde
é uma constante. Pede-se:
- Encontrar a família geral de soluções dessa equação.
- Encontrar a família de soluções que atende à condição inicial
. - Dizer se os conjuntos de soluções obtidos são diferentes.
Informações relevantes fornecidas:
- A função incógnita é
, dependente de uma variável independente (chamarei de ); logo . -
é uma constante real. - Há uma condição inicial específica
para a segunda parte.
Passo 2
Qual método usar e por quê (breve justificativa didática).
Esta equação é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem com coeficiente constante. Mas há uma observação prática muito útil: pode-se reescrever como
Esta equação é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem com coeficiente constante. Mas há uma observação prática muito útil: pode-se reescrever como
o que mostra que as variáveis
e
estão separáveis. Resolver por separação de variáveis é simples e direto, portanto vou usar esse método (é o mais rápido para este tipo de equação). Vou também verificar depois que a solução encontrada satisfaz a equação original.
Passo 3
Separação de variáveis — reescrever e isolar os diferenciais.
Partindo de
Partindo de
posso separar as variáveis colocando todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro:
Aqui há uma observação técnica: a divisão por
exige
. Essa divisão permite integrar; a solução identicamente nula (
) será tratada como caso especial depois. Para agora, assumimos
localmente e prosseguimos com integração.
Passo 4
Integrar ambos os lados e interpretar a constante de integração.
Integramos em relação a (ou de forma equivalente, integrar o lado em
em termos de
e o lado em
em termos de
):
Integramos em relação a
A integral do lado esquerdo é a função logaritmo natural; a do lado direito é um múltiplo simples:
onde
é a constante de integração (número real). Expliquei o valor absoluto: a primitiva de
é
para cobrir
e
.
Passo 5
Exponentiar para isolar
e obter a forma explícita da solução.
Aplicando exponencial em ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Aplicando exponencial em ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Definindo
, obtemos
. Isso dá
. Para agrupar os sinais e permitir a solução nula, é comum escrever a constante multiplicativa geral como
(podendo ser zero, positivo ou negativo). Assim obtemos a família geral
Passo 6
Tratamento do caso
e confirmação de que está incluído.
A solução (função identicamente zero) é solução da equação original, pois substituindo
temos
. Essa solução corresponde à escolha
na forma
. Portanto a expressão do passo anterior cobre todos os casos, inclusive o trivial.
A solução
Passo 7
Verificação rápida por substituição (checagem).
Para garantir que a solução é correta, calcule para
:
Para garantir que a solução é correta, calcule
Reescrevendo,
. Logo a família encontrada satisfaz a equação.
Passo 8
Aplicar a condição inicial
.
Usando e impondo
, obtemos
Usando
Portanto
. A solução que atende à condição inicial é
Passo 9
Interpretar se os conjuntos de soluções são diferentes.
A família geral é o conjunto , que contém infinitas soluções parametrizadas por
. A família que atende
é o subconjunto com
, ou seja o único elemento
. Portanto os conjuntos não são iguais: o conjunto com condição inicial é um subconjunto (na verdade um elemento fixado) da família geral.
A família geral é o conjunto
Resposta
Sim. A solução que satisfaz