[7.] Encontre uma família de soluções da equação
exceto para
. Porque é
uma escolha não apropriada para
?
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado fornece a equação diferencial
em um intervalo
exceto (ou seja, sem incluir) o ponto onde
. As perguntas são:
- encontrar uma família de soluções da equação em intervalos que não contenham
(por exemplo em e em ); - explicar por que
não é uma escolha apropriada para um ponto inicial .
Passo 2
Primeiro reescrevo a equação em “forma normal” quando for permitido dividir por
. Para
podemos dividir ambos os lados por
e obtemos
É importante dizer já que essa divisão só é válida quando
; por isso a solução que obtivermos será válida apenas em intervalos que não contenham
.
Passo 3
A equação agora é uma equação diferencial de primeira ordem do tipo separável. “Separável” significa que podemos colocar todos os termos com
de um lado e todos os termos com
do outro, em diferencial. Faço isso escrevendo
Em notação de diferenciais isto corresponde a
Observação didática: quando escrevo
estou implicitamente assumindo
ao dividir por
; trataremos o caso
separadamente (é a solução trivial).
Passo 4
Integro ambos os lados. A integral de
é
. A integral de
em relação a
é
. Assim:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora exponencio para isolar
. Aplicando a exponencial em ambos os lados:
Chamo
. Assim
, o que dá duas possibilidades de sinal; absorvendo o sinal em uma constante real
(que pode ser zero) obtemos a família geral
Além disso existe a solução trivial
, que é o caso
.
Passo 6
Comentário sobre domínio: como já observei, a operação de divisão por
e a integração só fazem sentido em intervalos que não contenham
. Portanto as soluções acima valem em qualquer intervalo onde
mantenha sinal fixo: por exemplo em
ou em
. Em palavras: a família
é válida em cada intervalo que não contém
; para usar um
fixo e ter uma solução contínua é preciso escolher um intervalo onde
não mude de sinal.
Passo 7
Verificação rápida por substituição (útil na prova): calcule a derivada de
. Temos
Multiplicando por
obtemos exatamente
, logo a família encontrada realmente satisfaz a equação quando
.
Passo 8
Comportamento perto de
(intuição útil): para
tem-se
, ou seja as soluções com
finito tendem a
pela direita; já para
tem-se
(se
a solução diverge ao aproximar de
pela esquerda). Isso mostra que, salvo a solução trivial
, não é possível “colar” uma única solução contínua em torno de
.
Passo 9
Por que
não é escolha apropriada para um ponto inicial? Resumo das razões:
- A forma normal
envolve divisão por . No ponto a função não está definida (tem singularidade), logo não se pode escrever a equação na forma com contínua em torno de . - Os teoremas padrão de existência e unicidade (Picard–Lindelöf) exigem que
seja contínua (e Lipschitz em ) numa vizinhança do ponto inicial; isso falha em . Portanto não se pode garantir (nem mesmo formular corretamente) um problema de valor inicial com . - Como consequência prática, as soluções não podem, em geral, ser prolongadas de um lado para o outro atravessando
(exceto a solução trivial ).