[7.] Encontre uma família de soluções da equação
t^{2} u^{\prime}-u=0, \quad \text { em } \quad I \subseteq \mathbb{R}
exceto para t<0. Porque é t_{o}=0 uma escolha não apropriada para t_{o} ?

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado fornece a equação diferencial
t^{2}u'(t)-u(t)=0,
em um intervalo I\subseteq\mathbb{R} exceto (ou seja, sem incluir) o ponto onde t=0. As perguntas são:
  • encontrar uma família de soluções da equação em intervalos que não contenham t=0 (por exemplo em t>0 e em t<0);
  • explicar por que t_{0}=0 não é uma escolha apropriada para um ponto inicial t_{0}.

Passo 2

Primeiro reescrevo a equação em “forma normal” quando for permitido dividir por t^{2}. Para t\neq0 podemos dividir ambos os lados por t^{2} e obtemos
u'(t)=\frac{u(t)}{t^{2}}.
É importante dizer já que essa divisão só é válida quando t\neq0; por isso a solução que obtivermos será válida apenas em intervalos que não contenham 0.

Passo 3

A equação agora é uma equação diferencial de primeira ordem do tipo separável. “Separável” significa que podemos colocar todos os termos com u de um lado e todos os termos com t do outro, em diferencial. Faço isso escrevendo
\frac{u'(t)}{u(t)}=\frac{1}{t^{2}}.
Em notação de diferenciais isto corresponde a
\frac{1}{u}\,du=\frac{1}{t^{2}}\,dt.
Observação didática: quando escrevo \frac{1}{u}\,du estou implicitamente assumindo u\neq0 ao dividir por u; trataremos o caso u\equiv0 separadamente (é a solução trivial).

Passo 4

Integro ambos os lados. A integral de \dfrac{1}{u}\,du é \ln|u|. A integral de t^{-2} em relação a t é -t^{-1}=-\dfrac{1}{t}. Assim:
\int \frac{1}{u}\,du=\int \frac{1}{t^{2}}\,dt \quad\Longrightarrow\quad \ln|u|=-\frac{1}{t}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Agora exponencio para isolar u. Aplicando a exponencial em ambos os lados:
|u|=e^{-\frac{1}{t}+C}=e^{C}e^{-\frac{1}{t}}.
Chamo A=e^{C}>0. Assim |u|=A e^{-1/t}, o que dá duas possibilidades de sinal; absorvendo o sinal em uma constante real K\in\mathbb{R} (que pode ser zero) obtemos a família geral
u(t)=K\,e^{-\frac{1}{t}},\qquad K\in\mathbb{R}.
Além disso existe a solução trivial u\equiv 0, que é o caso K=0.

Passo 6

Comentário sobre domínio: como já observei, a operação de divisão por t^{2} e a integração só fazem sentido em intervalos que não contenham 0. Portanto as soluções acima valem em qualquer intervalo onde t mantenha sinal fixo: por exemplo em (0,+\infty) ou em (-\infty,0). Em palavras: a família
u(t)=K\,e^{-\frac{1}{t}}
é válida em cada intervalo que não contém 0; para usar um K fixo e ter uma solução contínua é preciso escolher um intervalo onde t não mude de sinal.

Passo 7

Verificação rápida por substituição (útil na prova): calcule a derivada de u(t)=K e^{-1/t}. Temos
u'(t)=K e^{-\frac{1}{t}}\cdot\frac{d}{dt}\Big(-\frac{1}{t}\Big)=K e^{-\frac{1}{t}}\cdot\frac{1}{t^{2}}=\frac{u(t)}{t^{2}}.
Multiplicando por t^{2} obtemos exatamente t^{2}u'(t)-u(t)=0, logo a família encontrada realmente satisfaz a equação quando t\neq0.

Passo 8

Comportamento perto de 0 (intuição útil): para t\to 0^{+} tem-se e^{-1/t}\to0, ou seja as soluções com K finito tendem a 0 pela direita; já para t\to0^{-} tem-se e^{-1/t}\to+\infty (se K\neq0 a solução diverge ao aproximar de 0 pela esquerda). Isso mostra que, salvo a solução trivial K=0, não é possível “colar” uma única solução contínua em torno de t=0.

Passo 9

Por que t_{0}=0 não é escolha apropriada para um ponto inicial? Resumo das razões:
  • A forma normal u'=\dfrac{u}{t^{2}} envolve divisão por t^{2}. No ponto t=0 a função f(t,u)=\dfrac{u}{t^{2}} não está definida (tem singularidade), logo não se pode escrever a equação na forma u'=f(t,u) com f contínua em torno de t_{0}=0.
  • Os teoremas padrão de existência e unicidade (Picard–Lindelöf) exigem que f(t,u) seja contínua (e Lipschitz em u) numa vizinhança do ponto inicial; isso falha em t=0. Portanto não se pode garantir (nem mesmo formular corretamente) um problema de valor inicial com t_{0}=0.
  • Como consequência prática, as soluções não podem, em geral, ser prolongadas de um lado para o outro atravessando t=0 (exceto a solução trivial u\equiv0).

Resposta

u(t)=K\,e^{-\frac{1}{t}},\\ K\in\mathbb{R}, válida em qualquer intervalo que não contenha t=0 (por exemplo em (0,\infty) ou em (-\infty,0)).
t_{0}=0 não é apropriado porque a equação em forma normal u'=\dfrac{u}{t^{2}} tem singularidade em t=0 (não se pode dividir por t^{2} nem aplicar os teoremas de existência/uniqueness nesse ponto).

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